Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1. Рассмотрим первую часть функции: $y = -x^2 - 4x + 1$ при $x \geq -3$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$.
$y_0 = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$.
Вершина параболы — точка $(-2; 5)$.
Вычислим значение функции на границе участка: при $x = -3$, $y = -(-3)^2 - 4 \cdot (-3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$. Точка $(-3; 4)$ закрашенная.
Дополнительные точки: при $x = -1$, $y = 4$; при $x = 0$, $y = 1$.

2. Рассмотрим вторую часть функции: $y = -x - 2$ при $x < -3$.
Графиком является луч прямой. Найдем значение функции в граничной точке (она будет выколотой для этой части, но мы проверим стыковку):
При $x = -3$, $y = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(-3; 1)$ выколотая.
Возьмем еще одну точку для построения луча: при $x = -5$, $y = -(-5) - 2 = 3$. Точка $(-5; 3)$.

3. Анализ графика и поиск значений $m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.
- Если $m < 1$, прямая пересекает только левый луч (1 точка).
- При $m = 1$ прямая проходит через выколотую точку $(-3; 1)$ и пересекает параболу в одной точке справа. Итого 1 точка.
- При $1 < m < 4$ прямая пересекает левый луч и правую ветвь параболы. Итого 2 точки.
- При $m = 4$ прямая проходит через точку стыка $(-3; 4)$, пересекает левый луч и правую ветвь параболы. Итого 3 точки (одна из них — граничная точка параболы).
- При $4 < m < 5$ прямая пересекает левый луч и две ветви параболы. Итого 3 точки.
- При $m = 5$ прямая касается вершины параболы $(-2; 5)$ и пересекает левый луч. Итого 2 точки.
- При $m > 5$ прямая пересекает только левый луч. Итого 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки график и прямая имеют при $1 < m < 4$ и при $m = 5$.

Ответ: (1; 4), 5

Источник: ФИПИ