Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r = 33$, а $O_2$ — центр окружности радиуса $R = 99$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 99 + 33 = 132$.

2) Рассмотрим общую касательную $AC$. Пусть $A$ — точка касания с первой окружностью, $C$ — со второй. Радиусы $O_1A$ и $O_2C$ перпендикулярны касательной $AC$, следовательно, $O_1A \parallel O_2C$. Четырехугольник $O_1ACO_2$ является прямоугольной трапецией.

3) Проведем из центра $O_1$ перпендикуляр $O_1H$ к радиусу $O_2C$. Тогда $O_1ACH$ — прямоугольник, значит $AC = O_1H$. В прямоугольном треугольнике $O_1HO_2$ гипотенуза $O_1O_2 = 132$, а катет $O_2H = O_2C - CH = R - r = 99 - 33 = 66$.

4) Заметим, что в треугольнике $O_1HO_2$ катет $O_2H$ в два раза меньше гипотенузы $O_1O_2$ ($66 = 132 : 2$). Следовательно, угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$, то есть $\angle HO_1O_2 = 30^\circ$. Тогда $\angle O_1O_2C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

5) Аналогично для второй касательной $BD$: трапеция $O_1ABD_2$ симметрична трапеции $O_1ACD_2$ относительно линии центров $O_1O_2$. Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$ в силу симметрии конструкции. Пусть $O_1O_2$ пересекает $AB$ в точке $M$, а $CD$ в точке $N$.

6) В треугольнике $AO_1M$: $\angle AO_1M = 180^\circ - \angle AO_1O_2 = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ$. Тогда отрезок $O_1M = O_1A \cdot \cos 60^\circ = 33 \cdot \frac{1}{2} = 16,5$.

7) В треугольнике $CO_2N$: $\angle CO_2N = 60^\circ$. Тогда отрезок $O_2N = O_2C \cdot \cos 60^\circ = 99 \cdot \frac{1}{2} = 49,5$.

8) Искомое расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ — это длина отрезка $MN$. Точки на линии центров расположены в следующем порядке: $M$, $O_1$, $O_2$, $N$ (так как углы при центрах острые и хорды лежат "снаружи" отрезка центров). Тогда $MN = MO_1 + O_1O_2 + O_2N = 16,5 + 132 + 49,5 = 198$.

Ответ: 198

Источник: ФИПИ