Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} + 3x - 3|x + 2| + 2$ необходимо раскрыть модуль по определению. Выражение под модулем $x + 2$ меняет знак в точке $x = -2$.

1. Рассмотрим случай $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$:
В этом случае $|x + 2| = x + 2$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x^{2} + 3x - 3(x + 2) + 2$
$y = x^{2} + 3x - 3x - 6 + 2$
$y = x^{2} - 4$
Графиком является часть параболы с вершиной в точке $(0; -4)$, ветви которой направлены вверх. Найдём значение функции в граничной точке: при $x = -2$, $y = (-2)^{2} - 4 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$:
В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Подставим в уравнение:
$y = x^{2} + 3x - 3(-x - 2) + 2$
$y = x^{2} + 3x + 3x + 6 + 2$
$y = x^{2} + 6x + 8$
Графиком является часть параболы. Найдём координаты вершины этой параболы:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$
$y_{0} = (-3)^{2} + 6 \cdot (-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$
Вершина находится в точке $(-3; -1)$. Ветви направлены вверх. Проверим стыковку в граничной точке: при $x = -2$, $y = (-2)^{2} + 6 \cdot (-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$.

3. Построение и анализ:
График состоит из двух кусков парабол, которые соединяются в точке $(-2; 0)$.
- Слева от $x = -2$ график идёт от бесконечности вниз к вершине $(-3; -1)$, затем поднимается к точке $(-2; 0)$.
- Справа от $x = -2$ график идёт от точки $(-2; 0)$ вниз к вершине $(0; -4)$, а затем уходит вверх в бесконечность.

4. Определение количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Будем перемещать её снизу вверх:
- При $m < -4$ точек пересечения нет.
- При $m = -4$ одна точка (вершина правой параболы).
- При $-4 < m < -1$ две точки.
- При $m = -1$ три точки (вершина левой параболы и две точки на ветвях правой).
- При $-1 < m < 0$ четыре точки.
- При $m = 0$ три точки (точка стыка парабол и две точки на внешних ветвях).
- При $m > 0$ две точки.

Таким образом, ровно три общие точки график имеет при $m = -1$ и $m = 0$.

Ответ: -1; 0

Источник: ФИПИ