Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $O$ — центр вписанной окружности. По определению, расстоянием от центра вписанной окружности до сторон треугольника является её радиус. Следовательно, расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно радиусу вписанной окружности: $r = 3$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $A$, точкой $O$ и проекцией точки $O$ на сторону $AC$ (обозначим её $K$). В этом треугольнике гипотенуза $AO = 5$, а катет $OK = r = 3$. По теореме Пифагора найдём второй катет: $AK = \sqrt{AO^2 - OK^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.

3) Пусть $\alpha$ — угол $OAK$. Тогда $\sin \alpha = \frac{OK}{AO} = \frac{3}{5} = 0,6$, а $\cos \alpha = \frac{AK}{AO} = \frac{4}{5} = 0,8$. Так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, то $AO$ — биссектриса угла $BAC$. Значит, $\angle BAC = 2\alpha$.

4) Проведём перпендикуляр $OH$ к прямой $AD$. По условию $OH = 4$. Заметим, что в параллелограмме $ABCD$ прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Расстояние от точки $O$ до прямой $BC$ равно радиусу $r = 3$. Расстояние от точки $O$ до прямой $AD$ равно $4$. Так как точка $O$ лежит внутри полосы между параллельными прямыми $BC$ и $AD$, то высота параллелограмма $h$, проведённая к стороне $AD$, равна сумме этих расстояний: $h = 3 + 4 = 7$.

5) Рассмотрим угол $CAD$. Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы $BCA$ и $CAD$ равны. Обозначим $\angle CAD = \beta$. Расстояние от точки $O$ до прямой $AD$ (равное $4$) можно выразить через синус угла $OAD$. Пусть $\angle OAD = \gamma$. Тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AO = 5$ и противолежащим катетом $OH = 4$ имеем: $\sin \gamma = \frac{4}{5} = 0,8$. Так как $\sin \alpha = 0,6$, а $\sin \gamma = 0,8$, то $\gamma > \alpha$. Угол $\beta = \angle CAD = \angle OAD - \angle OAC = \gamma - \alpha$.

6) Найдём синус угла $CAD$: $\sin \beta = \sin(\gamma - \alpha) = \sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha$. Мы знаем, что $\sin \gamma = 0,8$, тогда $\cos \gamma = \sqrt{1 - 0,8^2} = 0,6$. $\sin \beta = 0,8 \cdot 0,8 - 0,6 \cdot 0,6 = 0,64 - 0,36 = 0,28$.

7) Из треугольника $ACD$ (или используя высоту $h$ и сторону $AC$): высота параллелограмма $h = AC \cdot \sin \beta$. Отсюда $AC = \frac{h}{\sin \beta} = \frac{7}{0,28} = \frac{700}{28} = 25$.

8) Площадь параллелограмма $S$ равна произведению сторон на синус угла между ними или удвоенной площади треугольника $ABC$. Удобнее найти площадь через сторону $AC$ и высоту треугольника $ABC$, опущенную на $AC$. Но проще всего использовать формулу $S = AC \cdot AD \cdot \sin \beta$. Однако у нас уже есть высота $h=7$ и мы можем найти сторону $AD$ из треугольника $ACD$. В треугольнике $ACD$ по теореме синусов или через высоту: $CD = \frac{h}{\sin \angle CAD}$ — это не совсем верно, так как $h$ — высота к $AD$. Найдём площадь треугольника $ABC$. Его высота к стороне $AC$ равна $r + r \cdot \frac{\cos \angle BAC}{1}$ — это сложно. Воспользуемся тем, что $S_{ABCD} = AD \cdot h$. Из треугольника $ACD$ по теореме синусов: $\frac{CD}{\sin \beta} = \frac{AC}{\sin \angle ADC}$. Проще: $S_{ABCD} = AC \cdot AB \cdot \sin(2\alpha + \beta)$. Вернёмся к треугольнику $ABC$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{S_{ABC}}{p}$. Также $r = (p - AC) \tan(\frac{\angle BAC}{2}) = (p - 25) \tan \alpha$. $3 = (p - 25) \cdot \frac{0,6}{0,8} \Rightarrow 3 = (p - 25) \cdot 0,75 \Rightarrow p - 25 = 4 \Rightarrow p = 29$. Площадь $S_{ABC} = r \cdot p = 3 \cdot 29 = 87$. Площадь параллелограмма $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot 87 = 174$.

Ответ: 174

Источник: ФИПИ