Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим полуокружность, построенную на стороне $BC$ как на диаметре. Пусть эта полуокружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Так как угол, опирающийся на диаметр, является прямым, то $\angle BKC = 90^\circ$ и $\angle BPC = 90^\circ$. Это означает, что $CK$ и $BP$ — высоты треугольника $ABC$.

2) По условию $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Значит, точка $H$ лежит на высоте $AD$, а также на высотах $BP$ и $CK$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нём отрезок $HP$ является частью высоты $BP$. Заметим, что треугольники $AHP$ и $ACD$ подобны по двум углам (угол $A$ общий, $\angle APH = \angle ADC = 90^\circ$). Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AH}{AC} = \frac{AP}{AD}$, откуда $AH \cdot AD = AC \cdot AP$.

4) Вспомним свойство секущих, проведённых из одной точки к окружности. Для точки $A$ и секущей $AC$, пересекающей полуокружность в точке $P$, и секущей, содержащей диаметр $BC$, это свойство не совсем удобно. Однако у нас есть точка $M$ на высоте $AD$. По свойству пересекающихся хорд (или секущей и касательной, если рассматривать полную окружность), произведение отрезков секущей $A M_1 \cdot AM = AC \cdot AP$, где $M_1$ — вторая точка пересечения прямой $AD$ с полной окружностью. Но проще воспользоваться свойством: если из точки $A$ проведены секущие $AC$ (с точкой $P$ на окружности) и $AD$ (с точкой $M$ на окружности), то квадрат отрезка касательной равен $AC \cdot AP$.

5) В нашей конфигурации точка $D$ лежит на диаметре $BC$, и $AD \perp BC$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике (если достроить полуокружность до полной окружности), точка $D$ будет серединой хорды $MM'$, где $M'$ — точка, симметричная $M$ относительно $BC$. Тогда по свойству секущих для точки $A$: $AC \cdot AP = AM \cdot AM'$.

6) Найдём длины отрезков на высоте $AD$. Нам дано $AD = 15$ и $MD = 12$. Тогда $AM = AD - MD = 15 - 12 = 3$. Так как $D$ — середина хорды $MM'$, то $DM' = MD = 12$. Следовательно, $AM' = AD + DM' = 15 + 12 = 27$.

7) Подставим значения в равенство из шага 5: $AC \cdot AP = AM \cdot AM' = 3 \cdot 27 = 81$.

8) Теперь вернёмся к равенству из шага 3: $AH \cdot AD = AC \cdot AP$. Нам известно, что $AD = 15$ и $AC \cdot AP = 81$. Получаем уравнение: $AH \cdot 15 = 81$.

9) Вычисляем $AH$: $AH = \frac{81}{15} = \frac{27}{5} = 5,4$.

Ответ: 5,4

Источник: ФИПИ