Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Углы при одном из оснований трапеции равны $53 °$ и $37 °$ , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Обозначим углы при основании $AD$ : $\angle A = 53^\circ$ и $\angle D = 37^\circ$ . Заметим, что сумма этих углов равна $53^\circ + 37^\circ = 90^\circ$ . Это важная особенность данной задачи.

2) Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований. Пусть $M$ — середина $BC$ , $N$ — середина $AD$ , тогда $MN$ — отрезок, соединяющий середины оснований. Средняя линия трапеции всегда больше или равна этому отрезку. Значит, средняя линия равна 6, а $MN = 2$ .

3) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$ . Рассмотрим треугольник $ASD$ . Сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$ , следовательно, $\angle S = 180^\circ - (53^\circ + 37^\circ) = 90^\circ$ . Таким образом, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

4) Точки $M$ и $N$ лежат на медиане этого прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла $S$ . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
Для треугольника $ASD$ : $SN = \frac{1}{2} AD$ .
Для треугольника $BSC$ (который также прямоугольный, так как $BC \parallel AD$ ): $SM = \frac{1}{2} BC$ .

5) Отрезок $MN$ равен разности этих медиан: $MN = SN - SM$ .
Подставим выражения через основания: $2 = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2}$ , откуда $AD - BC = 4$ .

6) Вспомним формулу средней линии трапеции: она равна полусумме оснований.
$\frac{AD + BC}{2} = 6$ , откуда $AD + BC = 12$ .

7) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} AD - BC = 4 \\ AD + BC = 12 \end{cases}$
Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 16 \Rightarrow AD = 8$ .
Вычтем из второго уравнения первое: $2 \cdot BC = 8 \Rightarrow BC = 4$ .

Ответ: 8; 4.

Источник: ФИПИ