Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Обозначим углы при основании $AD$: $\angle A = 53^\circ$ и $\angle D = 37^\circ$. Заметим, что сумма этих углов равна $53^\circ + 37^\circ = 90^\circ$. Это важная особенность данной задачи.

2) Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований. Пусть $M$ — середина $BC$, $N$ — середина $AD$, тогда $MN$ — отрезок, соединяющий середины оснований. Средняя линия трапеции всегда больше или равна этому отрезку. Значит, средняя линия равна 6, а $MN = 2$.

3) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$. Рассмотрим треугольник $ASD$. Сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, следовательно, $\angle S = 180^\circ - (53^\circ + 37^\circ) = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

4) Точки $M$ и $N$ лежат на медиане этого прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла $S$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
Для треугольника $ASD$: $SN = \frac{1}{2} AD$.
Для треугольника $BSC$ (который также прямоугольный, так как $BC \parallel AD$): $SM = \frac{1}{2} BC$.

5) Отрезок $MN$ равен разности этих медиан: $MN = SN - SM$.
Подставим выражения через основания: $2 = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2}$, откуда $AD - BC = 4$.

6) Вспомним формулу средней линии трапеции: она равна полусумме оснований.
$\frac{AD + BC}{2} = 6$, откуда $AD + BC = 12$.

7) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} AD - BC = 4 \\ AD + BC = 12 \end{cases}$
Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 16 \Rightarrow AD = 8$.
Вычтем из второго уравнения первое: $2 \cdot BC = 8 \Rightarrow BC = 4$.

Ответ: 8; 4.

Источник: ФИПИ