Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на $BE$) и высотой (так как $BE \perp AD$).

2) Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$. Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$.

3) В равнобедренном треугольнике $ABD$ биссектриса $BO$ является также и медианой, поэтому точка $O$ — середина $AD$. Так как по условию $AD = 24$, то $AO = OD = 24 : 2 = 12$.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AO^2 + BO^2$. Обозначим $BO = y$. Тогда $x^2 = 12^2 + y^2$.
Так как $BE = 24$, то $OE = BE - BO = 24 - y$.

5) Воспользуемся свойством биссектрисы $BE$ в треугольнике $ABC$: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$.
Значит, $EC = 2 \cdot AE$, а вся сторона $AC = AE + EC = 3 \cdot AE$.

6) Проведём через точку $D$ прямую $DK$, параллельную $BE$ ($K$ лежит на $AC$). По теореме Фалеса для угла $C$, так как $D$ — середина $BC$, то $K$ — середина $EC$.
Тогда $EK = KC = \frac{1}{2} EC = AE$.
В треугольнике $ADK$ отрезок $OE$ параллелен $DK$ и проходит через середину $AD$. Значит, $OE$ — средняя линия треугольника $ADK$.
Отсюда $DK = 2 \cdot OE = 2(24 - y)$.
Также из подобия треугольников $COE$ и $CDK$ (или по теореме о средней линии для $BCE$) можно найти $BO$. В треугольнике $BCE$ отрезок $DK$ является средней линией, так как $D$ — середина $BC$ и $DK \parallel BE$.
Следовательно, $DK = \frac{1}{2} BE = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$.

7) Теперь найдём $y$: $2(24 - y) = 12 \Rightarrow 24 - y = 6 \Rightarrow y = 18$.
Значит, $BO = 18$, а $OE = 24 - 18 = 6$.

8) Найдём стороны:
Из треугольника $AOB$: $AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + 18^2} = \sqrt{144 + 324} = \sqrt{468} = \sqrt{36 \cdot 13} = 6\sqrt{13}$.
Тогда $BC = 2 \cdot AB = 12\sqrt{13}$.
Из треугольника $AOE$: $AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.
Тогда $AC = 3 \cdot AE = 18\sqrt{5}$.

Ответ: $6\sqrt{13}$, $12\sqrt{13}$, $18\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ