Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на $BE$) и высотой (так как $BE \perp AD$).

2) Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$. Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$.

3) В равнобедренном треугольнике $ABD$ высота $BO$ также является медианой, поэтому точка $O$ — середина $AD$. Так как длина $AD = 20$, то $AO = OD = 20 : 2 = 10$.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOD$. По теореме Пифагора: $BD^2 = BO^2 + OD^2$. Обозначим $BO = y$. Тогда $x^2 = y^2 + 10^2$, то есть $y^2 = x^2 - 100$.

5) Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника $ABC$: биссектриса $BE$ делит противоположную сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Значит, $\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$. Отсюда $EC = 2 \cdot AE$, а вся сторона $AC = AE + EC = 3 \cdot AE$.

6) Проведём через точку $D$ прямую $DK$, параллельную $BE$ (точка $K$ лежит на $AC$). По теореме Фалеса для угла $C$, так как $D$ — середина $BC$, то $K$ — середина $EC$. Значит, $EK = KC = \frac{1}{2} EC = AE$. Таким образом, точки $E$ и $K$ делят $AC$ на три равные части: $AE = EK = KC$.

7) В треугольнике $ADK$ отрезок $OE$ является средней линией (так как $O$ — середина $AD$ и $OE \parallel DK$). Значит, $OE = \frac{1}{2} DK$. В треугольнике $BCE$ отрезок $DK$ является средней линией (так как $D$ — середина $BC$ и $DK \parallel BE$). Значит, $DK = \frac{1}{2} BE = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$.

8) Тогда $OE = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$. Найдём $BO = BE - OE = 20 - 5 = 15$. Теперь из треугольника $BOD$ найдём $BD$: $BD = \sqrt{BO^2 + OD^2} = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$.

9) Находим стороны: $AB = BD = 5\sqrt{13}$; $BC = 2 \cdot BD = 10\sqrt{13}$. Для нахождения $AC$ найдём $AE$ из прямоугольного треугольника $AOE$: $AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. Тогда $AC = 3 \cdot AE = 15\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{13}$, $10\sqrt{13}$, $15\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ