Задание №25 — Геометрия

#48357Задание №25ФИПИ

Треугольник

В треугольнике $A B C$ биссектриса $B E$ и медиана $A D$ перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника $A B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$ . По условию $BE \perp AD$ . Рассмотрим треугольник $ABD$ . В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на $BE$ ) и высотой (так как $BE \perp AD$ ).

2) Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$ . Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$ , то точка $D$ — середина стороны $BC$ , следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$ . Пусть $AB = x$ , тогда $BC = 2x$ .

3) В равнобедренном треугольнике $ABD$ высота $BO$ также является медианой, поэтому точка $O$ — середина $AD$ . Так как длина $AD = 20$ , то $AO = OD = 20 : 2 = 10$ .

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOD$ . По теореме Пифагора: $BD^2 = BO^2 + OD^2$ . Обозначим $BO = y$ . Тогда $x^2 = y^2 + 10^2$ , то есть $y^2 = x^2 - 100$ .

5) Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника $ABC$ : биссектриса $BE$ делит противоположную сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Значит, $\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$ . Отсюда $EC = 2 \cdot AE$ , а вся сторона $AC = AE + EC = 3 \cdot AE$ .

6) Проведём через точку $D$ прямую $DK$ , параллельную $BE$ (точка $K$ лежит на $AC$ ). По теореме Фалеса для угла $C$ , так как $D$ — середина $BC$ , то $K$ — середина $EC$ . Значит, $EK = KC = \frac{1}{2} EC = AE$ . Таким образом, точки $E$ и $K$ делят $AC$ на три равные части: $AE = EK = KC$ .

7) В треугольнике $ADK$ отрезок $OE$ является средней линией (так как $O$ — середина $AD$ и $OE \parallel DK$ ). Значит, $OE = \frac{1}{2} DK$ . В треугольнике $BCE$ отрезок $DK$ является средней линией (так как $D$ — середина $BC$ и $DK \parallel BE$ ). Значит, $DK = \frac{1}{2} BE = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ .

8) Тогда $OE = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ . Найдём $BO = BE - OE = 20 - 5 = 15$ . Теперь из треугольника $BOD$ найдём $BD$ : $BD = \sqrt{BO^2 + OD^2} = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$ .

9) Находим стороны: $AB = BD = 5\sqrt{13}$ ; $BC = 2 \cdot BD = 10\sqrt{13}$ . Для нахождения $AC$ найдём $AE$ из прямоугольного треугольника $AOE$ : $AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ . Тогда $AC = 3 \cdot AE = 15\sqrt{5}$ .

Ответ: $5\sqrt{13}$ , $10\sqrt{13}$ , $15\sqrt{5}$ .

Источник: ФИПИ