Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала упростим выражение, задающее функцию. Заметим, что в формуле присутствует модуль. Вспомним определение модуля: $|a| = a$, если $a \geq 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем $\frac{x}{4} - \frac{4}{x}$:

1) Пусть $\frac{x}{4} - \frac{4}{x} \geq 0$.
Решим это неравенство: $\frac{x^2 - 16}{4x} \geq 0 \Rightarrow \frac{(x-4)(x+4)}{4x} \geq 0$.
Методом интервалов получаем промежутки: $x \in [-4; 0) \cup [4; +\infty)$.
В этом случае $|\frac{x}{4} - \frac{4}{x}| = \frac{x}{4} - \frac{4}{x}$. Подставим в исходную функцию:
$y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{4} - \frac{4}{x} + \frac{x}{4} + \frac{4}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x}{4} \right) = \frac{x}{4}$.

2) Пусть $\frac{x}{4} - \frac{4}{x} < 0$.
Это выполняется при $x \in (-\infty; -4) \cup (0; 4)$.
В этом случае $|\frac{x}{4} - \frac{4}{x}| = -\left(\frac{x}{4} - \frac{4}{x}\right) = \frac{4}{x} - \frac{x}{4}$. Подставим в функцию:
$y = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{x} - \frac{x}{4} + \frac{x}{4} + \frac{4}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{x} \right) = \frac{4}{x}$.

Таким образом, функция задаётся кусочно:
$y = \frac{4}{x}$, если $x \in (-\infty; -4) \cup (0; 4)$;
$y = \frac{x}{4}$, если $x \in [-4; 0) \cup [4; +\infty)$.

Построим график:
- На луче $(-\infty; -4)$ график — часть гиперболы $y = \frac{4}{x}$. При $x = -4$ значение $y = -1$.
- На полуинтервале $[-4; 0)$ график — отрезок прямой $y = \frac{x}{4}$. При $x = -4$ значение $y = -1$.
- На интервале $(0; 4)$ график — часть гиперболы $y = \frac{4}{x}$. При $x = 4$ значение $y = 1$.
- На луче $[4; +\infty)$ график — часть прямой $y = \frac{x}{4}$. При $x = 4$ значение $y = 1$.

График представляет собой:
1. Ветвь, идущую от $0$ вниз к $-1$ (при $x$ от $-\infty$ до $-4$), а затем к $0$ (при $x$ от $-4$ до $0$). Все значения $y$ здесь отрицательны.
2. Ветвь, идущую от $+\infty$ вниз до точки $(4; 1)$ (гипербола), а затем уходящую вверх (прямая). Точка $(4; 1)$ является локальным минимумом для правой части графика.

Исследуем количество пересечений с прямой $y = m$:
- При $m < -1$ прямая пересекает график в двух точках (на гиперболе и на прямой).
- При $m = -1$ прямая проходит через "стык" и имеет одну общую точку $x = -4$.
- При $-1 < m < 0$ прямая пересекает левую часть графика в двух точках.
- При $m = 0$ общих точек нет (асимптоты).
- При $0 < m < 1$ общих точек нет (график правой части начинается от $y = 1$).
- При $m = 1$ прямая касается графика в точке $(4; 1)$ — это ровно одна общая точка.
- При $m > 1$ прямая пересекает правую часть графика в двух точках.

Следовательно, ровно одна общая точка будет при $m = -1$ и $m = 1$.

Ответ: -1; 1

Источник: ФИПИ