Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть окружность проходит через точки $M$ и $N$, лежащие на стороне $AC$, и касается луча $AB$ в некоторой точке $K$. По условию задачи $AM = 18$, $AN = 40$. Точки лежат на одной прямой в порядке $A$, $M$, $N$, так как $18 < 40$.

2. Воспользуемся теоремой о квадрате касательной: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В нашем случае:
$AK^2 = AM \cdot AN$
Подставим значения:
$AK^2 = 18 \cdot 40 = 720$
Отсюда $AK = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$.

3. Рассмотрим треугольник $AMK$. Нам известны две его стороны $AM = 18$, $AK = 12\sqrt{5}$ и косинус угла между ними $\cos \angle MAK = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдем сторону $MK$ по теореме косинусов:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle MAK$
$MK^2 = 18^2 + (12\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 18 \cdot 12\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$
$MK^2 = 324 + 720 - 2 \cdot 18 \cdot 4 \cdot 5$
$MK^2 = 1044 - 720 = 324$
Следовательно, $MK = \sqrt{324} = 18$.

4. Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = MK = 18$. Значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный. Следовательно, углы при основании $AK$ равны: $\angle MKA = \angle MAK$.
Тогда $\cos \angle MKA = \cos \angle MAK = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

5. Угол $\angle MKA$ — это угол между касательной $AK$ и хордой $MK$. По свойству угла между касательной и хордой, он равен половине дуги, которую стягивает эта хорда, а значит, он равен вписанному углу, опирающемуся на эту же дугу. То есть $\angle MNK = \angle MKA$.
Таким образом, в треугольнике $KMN$ угол $\angle KNM$ имеет такой же косинус: $\cos \angle KNM = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

6. Найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество ($\sin \alpha > 0$ для угла треугольника):
$\sin \angle KNM = \sqrt{1 - \cos^2 \angle KNM} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.

7. Радиус $R$ окружности, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, можно найти по теореме синусов для треугольника $KMN$:
$2R = \frac{MK}{\sin \angle KNM}$
$2R = \frac{18}{2/3} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27$
$R = \frac{27}{2} = 13,5$.

Ответ: 13,5

Источник: ФИПИ