Задание №25 — Геометрия

#48359Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $A C$ треугольника $A B C$ на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины $A$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $A B$ , если $cos \angle B A C = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Пусть окружность проходит через точки $M$ и $N$ , лежащие на стороне $AC$ , и касается луча $AB$ в некоторой точке $K$ . По условию задачи $AM = 18$ , $AN = 40$ . Точки лежат на одной прямой в порядке $A$ , $M$ , $N$ , так как $18 < 40$ .

2. Воспользуемся теоремой о квадрате касательной: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В нашем случае:
$AK^2 = AM \cdot AN$
Подставим значения:
$AK^2 = 18 \cdot 40 = 720$
Отсюда $AK = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ .

3. Рассмотрим треугольник $AMK$ . Нам известны две его стороны $AM = 18$ , $AK = 12\sqrt{5}$ и косинус угла между ними $\cos \angle MAK = \frac{\sqrt{5}}{3}$ . Найдем сторону $MK$ по теореме косинусов:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle MAK$
$MK^2 = 18^2 + (12\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 18 \cdot 12\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$
$MK^2 = 324 + 720 - 2 \cdot 18 \cdot 4 \cdot 5$
$MK^2 = 1044 - 720 = 324$
Следовательно, $MK = \sqrt{324} = 18$ .

4. Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = MK = 18$ . Значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный. Следовательно, углы при основании $AK$ равны: $\angle MKA = \angle MAK$ .
Тогда $\cos \angle MKA = \cos \angle MAK = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

5. Угол $\angle MKA$ — это угол между касательной $AK$ и хордой $MK$ . По свойству угла между касательной и хордой, он равен половине дуги, которую стягивает эта хорда, а значит, он равен вписанному углу, опирающемуся на эту же дугу. То есть $\angle MNK = \angle MKA$ .
Таким образом, в треугольнике $KMN$ угол $\angle KNM$ имеет такой же косинус: $\cos \angle KNM = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

6. Найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество ( $\sin \alpha > 0$ для угла треугольника):
$\sin \angle KNM = \sqrt{1 - \cos^2 \angle KNM} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ .

7. Радиус $R$ окружности, проходящей через точки $M$ , $N$ и $K$ , можно найти по теореме синусов для треугольника $KMN$ :
$2R = \frac{MK}{\sin \angle KNM}$
$2R = \frac{18}{2/3} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27$
$R = \frac{27}{2} = 13,5$ .

Ответ: 13,5

Источник: ФИПИ