Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Углы при одном из оснований трапеции равны $7 °$ и $83 °$ , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 11. Найдите основания трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ . По условию углы при основании $AD$ равны $\angle A = 7^{\circ}$ и $\angle D = 83^{\circ}$ . Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований.

2. Заметим, что сумма углов при основании $AD$ равна $7^{\circ} + 83^{\circ} = 90^{\circ}$ . Это важное свойство. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$ . Рассмотрим треугольник $ASD$ . Так как сумма углов $A$ и $D$ равна $90^{\circ}$ , то угол $S$ равен $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ . Значит, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

3. Пусть $M$ — середина основания $BC$ , а $N$ — середина основания $AD$ . Точки $S, M, N$ лежат на одной прямой, так как при гомотетии с центром $S$ , переводящей $BC$ в $AD$ , середина одного отрезка переходит в середину другого. В прямоугольном треугольнике $ASD$ отрезок $SN$ — медиана, проведённая к гипотенузе, поэтому $SN = \frac{1}{2} AD$ . Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BSC$ отрезок $SM$ — медиана, поэтому $SM = \frac{1}{2} BC$ .

4. Отрезок $MN$ , соединяющий середины оснований, равен разности этих медиан: $MN = SN - SM = \frac{AD - BC}{2}$ . Средняя линия трапеции (обозначим её $L$ ) вычисляется по формуле $L = \frac{AD + BC}{2}$ .

5. По условию даны два отрезка: 14 и 11. Средняя линия всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (так как полусумма оснований больше их полуразности при $BC > 0$ ). Следовательно:
$\frac{AD + BC}{2} = 14$
$\frac{AD - BC}{2} = 11$

6. Составим систему уравнений:
$AD + BC = 28$
$AD - BC = 22$

7. Сложим эти уравнения: $2 \cdot AD = 50$ , откуда $AD = 25$ .
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 6$ , откуда $BC = 3$ .

Ответ: 25; 3.

Источник: ФИПИ