Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию углы при основании $AD$ равны $\angle A = 7^{\circ}$ и $\angle D = 83^{\circ}$. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований.

2. Заметим, что сумма углов при основании $AD$ равна $7^{\circ} + 83^{\circ} = 90^{\circ}$. Это важное свойство. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$. Рассмотрим треугольник $ASD$. Так как сумма углов $A$ и $D$ равна $90^{\circ}$, то угол $S$ равен $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Значит, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

3. Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. Точки $S, M, N$ лежат на одной прямой, так как при гомотетии с центром $S$, переводящей $BC$ в $AD$, середина одного отрезка переходит в середину другого. В прямоугольном треугольнике $ASD$ отрезок $SN$ — медиана, проведённая к гипотенузе, поэтому $SN = \frac{1}{2} AD$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BSC$ отрезок $SM$ — медиана, поэтому $SM = \frac{1}{2} BC$.

4. Отрезок $MN$, соединяющий середины оснований, равен разности этих медиан: $MN = SN - SM = \frac{AD - BC}{2}$. Средняя линия трапеции (обозначим её $L$) вычисляется по формуле $L = \frac{AD + BC}{2}$.

5. По условию даны два отрезка: 14 и 11. Средняя линия всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (так как полусумма оснований больше их полуразности при $BC > 0$). Следовательно:
$\frac{AD + BC}{2} = 14$
$\frac{AD - BC}{2} = 11$

6. Составим систему уравнений:
$AD + BC = 28$
$AD - BC = 22$

7. Сложим эти уравнения: $2 \cdot AD = 50$, откуда $AD = 25$.
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 6$, откуда $BC = 3$.

Ответ: 25; 3.

Источник: ФИПИ