Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Упростим выражение для функции.
Заметим, что в числителе есть множитель $(x - 1)$, а в знаменателе — $(1 - x)$. Эти выражения противоположны по знаку: $(1 - x) = -(x - 1)$.
Прежде чем сокращать, определим область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, значит, $1 - x \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
При $x \neq 1$ функция принимает вид:
$y = \frac{(x^2 + 0,25)(x - 1)}{-(x - 1)}$
$y = -(x^2 + 0,25)$
$y = -x^2 - 0,25$

2. Построим график.
Графиком функции $y = -x^2 - 0,25$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; -0,25)$.
С учётом области определения, из этой параболы нужно исключить ("выколоть") точку с абсциссой $x = 1$.
Найдём ординату выколотой точки: если $x = 1$, то $y = -1^2 - 0,25 = -1,25$.
Таким образом, график — это парабола $y = -x^2 - 0,25$ без точки $(1; -1,25)$.

3. Исследуем количество общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти такие $k$, при которых прямая имеет с графиком ровно одну общую точку. Это возможно в двух случаях:

Случай А: Прямая касается параболы.
Для этого уравнение $kx = -x^2 - 0,25$ должно иметь ровно одно решение.
Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + kx + 0,25 = 0$.
Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = k^2 - 1$
$k^2 - 1 = 0 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$ или $k = -1$.
При этих значениях прямая касается параболы в точках, отличных от выколотой.

Случай Б: Прямая проходит через выколотую точку $(1; -1,25)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них (выколотая) не принадлежит графику функции. Значит, общая точка останется только одна.
Подставим координаты точки $(1; -1,25)$ в уравнение прямой $y = kx$:
$-1,25 = k \cdot 1$
$k = -1,25$

4. Проверка.
При $k = 1$ и $k = -1$ прямая касается параболы (1 точка).
При $k = -1,25$ прямая пересекает параболу в точках $x = 1$ (выколота) и $x = 0,25$ (входит в график), итого 1 точка.

Ответ: -1,25; -1; 1.

Источник: ФИПИ