Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция кусочно-линейная, её график состоит из двух лучей и одного отрезка. Построим его по частям.

1) При $x < 3$: $y = 2x - 2$ — луч (без концевой точки при $x = 3$).
Если $x = 0$, то $y = -2$ — точка $(0; -2)$.
При $x \to 3$ значение $y \to 2 \cdot 3 - 2 = 4$, но сама точка $(3; 4)$ этому куску не принадлежит (неравенство строгое).
Луч возрастает, при уменьшении $x$ уходит вниз к $-\infty$; наибольшее значение на нём меньше $4$.

2) При $3 \le x \le 4$: $y = -3x + 13$ — отрезок.
Если $x = 3$, то $y = -9 + 13 = 4$ — точка $(3; 4)$ (закрашенная).
Если $x = 4$, то $y = -12 + 13 = 1$ — точка $(4; 1)$ (закрашенная).
В точке $x = 3$ первый и второй куски стыкуются (оба дают $y = 4$), поэтому $(3; 4)$ — вершина-«пик» графика.

3) При $x > 4$: $y = 1,5x - 7$ — луч.
При $x \to 4$ значение $y \to 1,5 \cdot 4 - 7 = -1$, точка $(4; -1)$ выколотая.
Если $x = 6$, то $y = 9 - 7 = 2$ — точка $(6; 2)$. Луч возрастает к $+\infty$.

Итак, в точке $x = 4$ — разрыв: отрезок кончается в $(4; 1)$, а третий луч начинается из выколотой точки $(4; -1)$.

Определим, при каких $m$ горизонтальная прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Подсчитаем число точек по кускам:
— первый луч $y = 2x - 2$ даёт точку при $m < 4$ (тогда $x = \tfrac{m+2}{2} < 3$); при $m \ge 4$ точки нет;
— отрезок $y = -3x + 13$ даёт точку при $1 \le m \le 4$;
— третий луч $y = 1,5x - 7$ даёт точку при $m > -1$.

Разберём случаи снизу вверх:
— при $m < -1$: только первый луч — 1 точка;
— при $m = -1$: первый луч (1) и выколотая точка $(4; -1)$ (не считается) — 1 точка;
— при $-1 < m < 1$: первый и третий лучи — 2 точки;
— при $m = 1$: первый луч, отрезок (конец $(4; 1)$) и третий луч — 3 точки;
— при $1 < m < 4$: первый луч, отрезок и третий луч — 3 точки;
— при $m = 4$: первый луч точки не даёт, прямая проходит через пик $(3; 4)$ (1 точка отрезка) и пересекает третий луч (1 точка) — 2 точки;
— при $m > 4$: первого луча уже нет ($y = 2x - 2$ достигает значений $>4$ лишь при $x > 3$, а там действует другая формула), отрезок тоже не даёт ($m > 4$), остаётся только третий луч — 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки прямая $y = m$ имеет при $-1 < m < 1$ и при $m = 4$.

Ответ: $-1 < m < 1$; $m = 4$