Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Проанализируем условие. Трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Следовательно, $AB \perp BC$ и $AB \perp AD$. Прямая $AB$ является касательной к окружности в точке $E$.

2. Продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $K$. Рассмотрим треугольники $KBC$ и $KAD$. Они подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD = 90^\circ$).

3. Из подобия треугольников следует отношение сторон: $\frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD}$. Подставим известные значения: $\frac{KC}{KD} = \frac{7}{8}$. Пусть $KC = 7x$, тогда $KD = 8x$. Отсюда отрезок $CD = KD - KC = 8x - 7x = x$.

4. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $K$ к окружности: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. То есть $KE^2 = KC \cdot KD$.
Подставим наши выражения через $x$: $KE^2 = 7x \cdot 8x = 56x^2$. Отсюда $KE = \sqrt{56x^2} = x\sqrt{56}$.

5. Пусть $h$ — искомое расстояние от точки $E$ до прямой $CD$. Это перпендикуляр, опущенный из $E$ на $CD$. Рассмотрим треугольник $KED$. Его площадь можно выразить двумя способами:
С одной стороны, $S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot KE \cdot \sin(\angle EKD)$.
С другой стороны, если рассматривать $KD$ как основание, то высота к нему из точки $E$ — это проекция $KE$ на перпендикуляр к $KD$. Но нам удобнее рассмотреть треугольник $KEC$ и использовать синус угла $K$.

6. Заметим, что в прямоугольном треугольнике $KAD$ синус угла $K$ равен: $\sin(\angle K) = \frac{AD}{KD} = \frac{8}{8x} = \frac{1}{x}$.
Расстояние $h$ от точки $E$ до прямой $CD$ (которая лежит на прямой $KD$) в треугольнике $KED$ вычисляется через гипотенузу $KE$ и синус угла $K$:
$h = KE \cdot \sin(\angle K)$.

7. Подставим значения: $h = x\sqrt{56} \cdot \frac{1}{x} = \sqrt{56}$.
Упростим корень: $\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.

Ответ: $2\sqrt{14}$

Источник: ФИПИ