Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана кусочно. Построим график каждой части на соответствующем промежутке.

1) Рассмотрим первую часть функции: $y = -x^2 + 10x - 21$ при $x \geq 3$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2 \cdot (-1)} = \frac{-10}{-2} = 5$.
$y_0 = -(5)^2 + 10 \cdot 5 - 21 = -25 + 50 - 21 = 4$.
Вершина находится в точке $(5; 4)$.
Вычислим значение функции на границе участка: при $x = 3$, $y = -(3)^2 + 10 \cdot 3 - 21 = -9 + 30 - 21 = 0$. Точка $(3; 0)$ принадлежит графику.
Дополнительные точки: при $x = 7$, $y = -49 + 70 - 21 = 0$.

2) Рассмотрим вторую часть функции: $y = -x + 5$ при $x < 3$.
Это прямая. Для её построения возьмем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 5$.
Если $x = 3$, то $y = -3 + 5 = 2$.
Заметим, что при $x = 3$ значения функций не совпадают ($0 \neq 2$), значит, в этой точке на графике будет «разрыв». Точка $(3; 2)$ будет выколотой для прямой, а точка $(3; 0)$ — закрашенной для параболы.

3) Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая, проходящая параллельно оси $Ox$. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.

Проанализируем количество пересечений при различных $m$:
— При $m < 0$: прямая пересекает только левую ветвь параболы (1 точка).
— При $m = 0$: прямая проходит через точку $(3; 0)$ и пересекает правую ветвь параболы в точке $(7; 0)$. Итого 2 точки.
— При $0 < m < 2$: прямая пересекает параболу в двух точках (левее и правее вершины). Итого 2 точки.
— При $m = 2$: прямая проходит через выколотую точку прямой $(3; 2)$ (здесь пересечения нет) и пересекает параболу в двух точках. Итого 2 точки.
— При $2 < m < 4$: прямая пересекает луч прямой (1 точка) и параболу в двух точках. Итого 3 точки.
— При $m = 4$: прямая пересекает луч прямой (1 точка) и касается вершины параболы $(5; 4)$ (1 точка). Итого 2 точки.
— При $m > 4$: прямая пересекает только луч прямой (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки будут при $m = 0$, в промежутке $0 < m \leq 2$ (объединяя, получаем $0 \leq m \leq 2$) и при $m = 4$.

Ответ: $0 \leq m \leq 2$; $m = 4$.

Источник: ФИПИ