Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ $—$ на второй. При этом $A C$
и $B D$ $—$ общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $A B$ и $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $R = 55$ , а $O_2$ — центр окружности радиуса $r = 45$ . Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 55 + 45 = 100$ .

2) Прямые $AC$ и $BD$ — общие внешние касательные. По свойству касательных, отрезки $AC$ и $BD$ равны. Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, а прямая, проходящая через центры окружностей $O_1O_2$ , является её осью симметрии. Значит, $AB \parallel CD$ , и искомое расстояние — это высота этой трапеции.

3) Рассмотрим прямоугольную трапецию $O_1O_2KC$ , где $O_1C = R$ , $O_2A = r$ , а $O_2K$ — перпендикуляр, опущенный из $O_2$ на радиус $O_1C$ . В прямоугольном треугольнике $O_1KO_2$ :
$O_1K = R - r = 55 - 45 = 10$ ;
$O_1O_2 = 100$ .
По теореме Пифагора найдем длину отрезка касательной $AC = O_2K$ :
$AC = \sqrt{O_1O_2^2 - O_1K^2} = \sqrt{100^2 - 10^2} = \sqrt{10000 - 100} = \sqrt{9900} = 30\sqrt{11}$ .

4) Пусть линия центров $O_1O_2$ пересекает хорды $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда $MN$ и есть искомое расстояние между прямыми. Заметим, что $MN$ — это проекция отрезка касательной $AC$ на линию центров.

5) Пусть $\alpha$ — угол наклона касательной к линии центров (угол $KO_2O_1$ ). Из треугольника $O_1KO_2$ :
$\cos \alpha = \frac{O_2K}{O_1O_2} = \frac{30\sqrt{11}}{100} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$ .
Проведем прямую $AP$ параллельно $O_1O_2$ до пересечения с $CD$ в точке $P$ . Тогда в прямоугольном треугольнике $APC$ угол $CAP$ также равен $\alpha$ . Искомое расстояние $MN = AP$ .

6) В прямоугольном треугольнике $APC$ :
$AP = AC \cdot \cos \alpha = 30\sqrt{11} \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} = \frac{30 \cdot 3 \cdot 11}{10} = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 99$ .

Ответ: 99

Источник: ФИПИ