Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 5|x - 3| - x^2 + 7x - 12$ сначала раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x - 3$ меняет знак в точке $x = 3$.

1. Рассмотрим случай $x \ge 3$:
В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 5(x - 3) - x^2 + 7x - 12$
$y = 5x - 15 - x^2 + 7x - 12$
$y = -x^2 + 12x - 27$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6$
$y_0 = -(6)^2 + 12 \cdot 6 - 27 = -36 + 72 - 27 = 9$
Вершина параболы — точка $(6; 9)$. При $x = 3$ значение $y = -(3)^2 + 12 \cdot 3 - 27 = -9 + 36 - 27 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x < 3$:
В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Подставим в уравнение:
$y = 5(3 - x) - x^2 + 7x - 12$
$y = 15 - 5x - x^2 + 7x - 12$
$y = -x^2 + 2x + 3$
Это также парабола с ветвями вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_0 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$
Вершина параболы — точка $(1; 4)$. При $x = 3$ значение $y = -(3)^2 + 2 \cdot 3 + 3 = -9 + 6 + 3 = 0$.

3. Анализ графика и поиск значений $m$:
График состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(3; 0)$.
- Левая часть (до $x = 3$) имеет вершину в точке $(1; 4)$.
- Правая часть (после $x = 3$) имеет вершину в точке $(6; 9)$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие $m$, при которых эта линия пересекает график ровно в трех точках.

Проследим за количеством точек пересечения при изменении $m$ снизу вверх:
- При $m < 0$ — 2 точки пересечения.
- При $m = 0$ — 3 точки пересечения (одна из них — точка стыка $(3; 0)$, и по одной на каждой "ветке").
- При $0 < m < 4$ — 4 точки пересечения.
- При $m = 4$ — 3 точки пересечения (одна из них — вершина левой параболы $(1; 4)$, и две на правой параболе).
- При $4 < m < 9$ — 2 точки пересечения.
- При $m = 9$ — 1 точка пересечения (вершина правой параболы).
- При $m > 9$ — точек пересечения нет.

Таким образом, ровно три общие точки график и прямая $y = m$ имеют при $m = 0$ и $m = 4$.

Ответ: 0; 4

Источник: ФИПИ