Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция содержит дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Найдём значения $x$, при которых выражение не имеет смысла:
$x^{2} - 4x \neq 0$
$x(x - 4) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 4$.
Значит, область определения функции — все действительные числа, кроме $0$ и $4$.

2. Упрощение формулы функции.
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = -1 - \frac{x - 4}{x(x - 4)}$
При условии $x \neq 4$ мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:
$y = -1 - \frac{1}{x}$
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком гиперболы $y = -\frac{1}{x} - 1$, за исключением точки с абсциссой $x = 4$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = -\frac{1}{x} - 1$ является гипербола, полученная из $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом вниз на $1$ единицу. Асимптотами графика являются прямые $x = 0$ (ось $Oy$) и $y = -1$.
Найдём координаты "выколотой" точки. При $x = 4$:
$y = -1 - \frac{1}{4} = -1,25$.
Точка $(4; -1,25)$ будет отсутствовать на графике.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
1) Если прямая проходит через "выколотую" точку. Это происходит при $m = -1,25$.
2) Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. Это происходит при $m = -1$. В этом случае прямая бесконечно приближается к ветвям гиперболы, но не пересекает их.

Ответ: -1,25; -1

Источник: ФИПИ