Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как они являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Аналогично, углы $ABD$ и $ACD$ равны, так как они опираются на дугу $AD$. Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам.

2. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
$\frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$.
Подставим известные значения сторон: $\frac{AB}{CD} = \frac{11}{41}$.
Обозначим $AK = 11x$, $DK = 41x$, $BK = 11y$, $CK = 41y$.

3. Рассмотрим треугольник $AKB$. По условию $\angle AKB = 60^\circ$. Применим теорему косинусов для стороны $AB$:
$AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos 60^\circ$
$11^2 = (11x)^2 + (11y)^2 - 2 \cdot 11x \cdot 11y \cdot \frac{1}{2}$
$121 = 121x^2 + 121y^2 - 121xy$
Разделим всё уравнение на $121$:
$x^2 + y^2 - xy = 1$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. Угол $BKC$ является смежным с углом $AKB$, поэтому $\angle BKC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Применим теорему косинусов для стороны $BC$:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos 120^\circ$
$BC^2 = (11y)^2 + (41y)^2 - 2 \cdot 11y \cdot 41y \cdot (-\frac{1}{2})$
$BC^2 = 121y^2 + 1681y^2 + 451y^2 = 2253y^2$.
Этот путь через $y$ сложен, так как мы не знаем $y$. Воспользуемся другим свойством.

5. Заметим, что радиус $R$ описанной окружности четырёхугольника $ABCD$ совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$. По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$2R = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$.
Из треугольника $AKB$ по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{BK}{\sin \angle BAC}$, откуда $\sin \angle BAC = \frac{BK \cdot \sin 60^\circ}{AB} = \frac{11y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{11} = \frac{y\sqrt{3}}{2}$.

6. Применим теорему косинусов в треугольнике $BKC$ для стороны $BC$, используя $BK = 11y$ и $CK = 41y$:
$BC^2 = (11y)^2 + (41y)^2 - 2 \cdot 11y \cdot 41y \cdot \cos 120^\circ = 121y^2 + 1681y^2 + 451y^2 = 2253y^2$.
Тогда $BC = y\sqrt{2253}$.

7. Подставим $BC$ и $\sin \angle BAC$ в формулу радиуса:
$2R = \frac{y\sqrt{2253}}{\frac{y\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{2253}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{\frac{2253}{3}} = 2\sqrt{751}$.
Следовательно, $R = \sqrt{751}$.

8. Проверим расчет через треугольник $AKD$. $\angle AKD = 120^\circ$.
$AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos 120^\circ = (11x)^2 + (41x)^2 + 11x \cdot 41x = 121x^2 + 1681x^2 + 451x^2 = 2253x^2$.
$AD = x\sqrt{2253}$.
Из треугольника $AKB$: $\sin \angle ABD = \frac{AK \cdot \sin 60^\circ}{AB} = \frac{11x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{11} = \frac{x\sqrt{3}}{2}$.
$2R = \frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{x\sqrt{2253}}{\frac{x\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{751}$.
Результаты совпали.

Ответ: $\sqrt{751}$

Источник: ФИПИ