Задание №22 — Функции

Решение.

Функция кусочно-линейная; график состоит из двух лучей и отрезка.

1) При $x<1$: $y=4x-5$ — возрастающий луч. При $x=0$ $y=-5$; при $x\to 1$ $y\to 4-5=-1$ (точка $(1;-1)$ выколота). Значения этой части: $y<-1$.

2) При $1\le x\le 4$: $y=-2,5x+5$ — убывающий отрезок. При $x=1$ $y=2,5$ (включена), при $x=4$ $y=-5$ (включена). Значения: $-5\le y\le 2,5$.

3) При $x>4$: $y=x-9$ — возрастающий луч. При $x\to 4$ $y\to -5$ (точка $(4;-5)$ выколота), при $x=6$ $y=-3$. Значения: $y>-5$.

В точке $x=1$ график имеет разрыв (скачок вверх): первый луч подходит к выколотой точке $(1;-1)$, а отрезок начинается в точке $(1;2,5)$. В точке $x=4$ отрезок оканчивается в $(4;-5)$, и отсюда же (выколото) начинается третий луч, поэтому значение $-5$ достигается ровно один раз — в точке $(4;-5)$.

Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и считаем общие точки:
— при $m<-5$ — только первый луч — 1 точка;
— при $m=-5$ — первый луч и конец отрезка $(4;-5)$ (третий луч здесь выколот) — 2 точки;
— при -5 — при \(m=-1 — отрезок и третий луч (первый луч сюда не доходит: точка $(1;-1)$ выколота) — 2 точки;
— при -12 точки</strong>;<br> — при \(m=2,5 — начало отрезка $(1;2,5)$ и третий луч — 2 точки;
— при $m>2,5$ — только третий луч — 1 точка.

Итак, ровно две общие точки получаются при $m=-5$ и при $-1\le m\le 2,5$.

Ответ: $m=-5$; $-1\le m\le 2,5$.