Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция $y = \frac{x - 3}{x^{2} - 3 x}$ определена, когда знаменатель не равен нулю:
$x^{2} - 3x \neq 0$
$x(x - 3) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 3$.
Значит, область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Преобразование выражения.
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = \frac{x - 3}{x(x - 3)}$
При $x \neq 3$ получаем простую функцию: $y = \frac{1}{x}$.
Таким образом, графиком исходной функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с «выколотой» точкой, абсцисса которой $x = 3$.
Найдём ординату этой точки: если $x = 3$, то $y = \frac{1}{3}$. Точка с координатами $(3; \frac{1}{3})$ не принадлежит графику.

3. Анализ пересечений с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Нам нужно найти значения $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Рассмотрим уравнение:
$kx = \frac{1}{x}$
$kx^{2} = 1$
$x^{2} = \frac{1}{k}$

Возможны следующие случаи:
а) Если $k < 0$, то уравнение $x^{2} = \frac{1}{k}$ не имеет корней. Прямая не пересекает гиперболу.
б) Если $k = 0$, то уравнение $0 = 1$ не имеет корней. Прямая $y = 0$ (ось $Ox$) является асимптотой и не пересекает гиперболу.
в) Если $k > 0$, то уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{1}{k}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{k}}$. Это означает, что прямая пересекает гиперболу в двух точках.

4. Учёт «выколотой» точки и области определения.
Ровно одна общая точка будет в том случае, если одна из двух точек пересечения прямой и гиперболы совпадёт с «выколотой» точкой или если одна из точек будет недопустима по области определения.
Точка $x = 0$ уже исключена, так как при $x = 0$ выражение $\frac{1}{x}$ не определено, и прямая $y = kx$ проходит через $(0;0)$, где гиперболы нет.
Единственный шанс получить одну точку — если прямая $y = kx$ проходит через точку $(3; \frac{1}{3})$. Тогда одна точка пересечения «исчезнет» (станет выколотой), и останется только одна вторая точка (симметричная ей относительно начала координат).
Подставим координаты точки $(3; \frac{1}{3})$ в уравнение прямой:
$\frac{1}{3} = k \cdot 3$
$k = \frac{1}{9}$

При $k = \frac{1}{9}$ прямая пересекает гиперболу в точках $x = 3$ (выколота) и $x = -3$ (существует). Значит, общая точка ровно одна.

Ответ: $\frac{1}{9}$

Источник: ФИПИ