Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$. Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как $O$. По условию задачи $BO : OH = 5 : 4$.

2) Рассмотрим треугольник $ABH$. В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (так как $AO$ лежит на биссектрисе $AL$). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH}$.
Подставим известное отношение:
$\frac{AB}{AH} = \frac{5}{4}$.

3) Из прямоугольного треугольника $ABH$ (угол $H = 90^\circ$) по определению косинуса острого угла:
$\cos A = \frac{AH}{AB}$.
Так как $\frac{AB}{AH} = \frac{5}{4}$, то $\cos A = \frac{4}{5} = 0,8$.

4) Для нахождения радиуса описанной окружности нам понадобится значение синуса угла $A$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:
$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.
(Мы берем положительное значение синуса, так как угол $A$ — угол треугольника, и его величина лежит в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$).

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения $BC = 18$ и $\sin A = 0,6$:
$2R = \frac{18}{0,6}$.
$2R = \frac{180}{6}$.
$2R = 30$.
$R = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ