Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B$ , в отношении $5 : 4$ , считая от точки $B$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ , если $B C = 18$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$ , проведённая к стороне $AC$ . Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ . Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как $O$ . По условию задачи $BO : OH = 5 : 4$ .

2) Рассмотрим треугольник $ABH$ . В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (так как $AO$ лежит на биссектрисе $AL$ ). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH}$ .
Подставим известное отношение:
$\frac{AB}{AH} = \frac{5}{4}$ .

3) Из прямоугольного треугольника $ABH$ (угол $H = 90^\circ$ ) по определению косинуса острого угла:
$\cos A = \frac{AH}{AB}$ .
Так как $\frac{AB}{AH} = \frac{5}{4}$ , то $\cos A = \frac{4}{5} = 0,8$ .

4) Для нахождения радиуса описанной окружности нам понадобится значение синуса угла $A$ . Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ :
$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$ .
(Мы берем положительное значение синуса, так как угол $A$ — угол треугольника, и его величина лежит в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ ).

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$ :
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ , где $R$ — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения $BC = 18$ и $\sin A = 0,6$ :
$2R = \frac{18}{0,6}$ .
$2R = \frac{180}{6}$ .
$2R = 30$ .
$R = 15$ .

Ответ: 15

Источник: ФИПИ