Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $BC = a$ (меньшее) и $AD = b$ (большее), боковыми сторонами $AB = CD = c$.
По условию в трапецию можно вписать окружность. Согласно свойству описанного четырёхугольника, суммы противоположных сторон равны: $a + b = c + c$, то есть $a + b = 2c$.

2) Периметр трапеции $P = a + b + 2c = 180$.
Заменим $a + b$ на $2c$: $2c + 2c = 180$, откуда $4c = 180$, значит, боковая сторона $c = 45$.
Следовательно, сумма оснований $a + b = 2 \cdot 45 = 90$.

3) Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.
Подставим известные значения: $1620 = \frac{90}{2} \cdot h$, то есть $1620 = 45 \cdot h$.
Находим высоту: $h = \frac{1620}{45} = 36$.

4) Пусть $BH$ — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора найдем отрезок $AH$:
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 45^2 - 36^2 = (45 - 36)(45 + 36) = 9 \cdot 81$.
$AH = \sqrt{9 \cdot 81} = 3 \cdot 9 = 27$.
Так как трапеция равнобедренная, отрезок $AH = \frac{b - a}{2}$. Тогда $b - a = 2 \cdot 27 = 54$.

5) Составим систему уравнений для оснований:
$\begin{cases} b + a = 90 \\ b - a = 54 \end{cases}$
Складывая уравнения, получим $2b = 144$, откуда $b = 72$.
Тогда $a = 90 - 72 = 18$.

6) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ вертикальные, а углы при основаниях накрест лежащие).
Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{a}{b} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$.
Высота трапеции $h$ складывается из высот этих треугольников, проведенных из точки $O$. Пусть $h_1$ — расстояние от $O$ до меньшего основания $BC$, а $h_2$ — расстояние до большего основания $AD$.
Тогда $h_1 + h_2 = h = 36$. Из подобия следует, что $\frac{h_1}{h_2} = k = \frac{1}{4}$, то есть $h_2 = 4h_1$.

7) Подставим в сумму: $h_1 + 4h_1 = 36$, следовательно, $5h_1 = 36$.
$h_1 = \frac{36}{5} = 7,2$.

Ответ: 7,2

Источник: ФИПИ