Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.
Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель в числителе: $0,75x^2 + 1,5x = 0,75x(x + 2)$.
Тогда функция примет вид: $y = \frac{0,75x(x + 2) \cdot |x|}{x + 2}$.
Сократим дробь на $(x + 2)$ при условии, что $x \neq -2$:
$y = 0,75x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
а) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция имеет вид $y = 0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
б) Если $x < 0$ и $x \neq -2$, то $|x| = -x$, и функция имеет вид $y = -0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Нахождение "выколотой" точки.
Так как $x \neq -2$, на графике будет отсутствовать точка с абсциссой $-2$.
Подставим $x = -2$ в упрощенное выражение для отрицательных $x$:
$y(-2) = -0,75 \cdot (-2)^2 = -0,75 \cdot 4 = -3$.
Следовательно, точка $(-2; -3)$ выколота.

5. Анализ количества решений.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие $m$, при которых эта прямая не пересекает график.
График функции $y = 0,75x \cdot |x|$ (с учетом выколотой точки) представляет собой непрерывную кривую, состоящую из двух частей парабол, за исключением точки $(-2; -3)$.
Единственное значение $m$, при котором прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком — это ордината выколотой точки.

Таким образом, прямая не пересекает график только при $m = -3$.

Ответ: -3

Источник: ФИПИ