Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на $BE$) и высотой (так как $BE \perp AD$).

2) Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Значит, $AB = BD$. Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$.

3) В равнобедренном треугольнике $ABD$ высота $BO$ также является медианой, поэтому $AO = OD = \frac{1}{2} AD = \frac{36}{2} = 18$.

4) Рассмотрим треугольник $BCE$. В нём отрезок $CD$ равен половине $BC$, а $O$ — точка на биссектрисе. Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника $ABC$: биссектриса $BE$ делит противоположную сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$. Отсюда $EC = 2 \cdot AE$.

5) Проведём через точку $D$ прямую $DF$, параллельную $BE$ (точка $F$ лежит на $AC$). По теореме Фалеса для угла $C$, так как $D$ — середина $BC$, то $F$ — середина $EC$. Значит, $EF = FC$. Так как $EC = 2 \cdot AE$, то $AE = EF = FC$. То есть точка $E$ — середина отрезка $AF$.

6) В треугольнике $ADF$ отрезок $OE$ параллелен $DF$ и проходит через середину $AD$. Значит, $OE$ — средняя линия треугольника $ADF$. Тогда $OE = \frac{1}{2} DF$. В треугольнике $BCE$ отрезок $DF$ — средняя линия (так как $D$ — середина $BC$ и $DF \parallel BE$). Тогда $DF = \frac{1}{2} BE = \frac{36}{2} = 18$.

7) Найдём $OE$: $OE = \frac{1}{2} DF = \frac{18}{2} = 9$. Тогда $BO = BE - OE = 36 - 9 = 27$.

8) Из прямоугольного треугольника $AOB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{18^2 + 27^2} = \sqrt{324 + 729} = \sqrt{1053} = \sqrt{81 \cdot 13} = 9\sqrt{13}$. Тогда $BC = 2 \cdot AB = 18\sqrt{13}$.

9) Из прямоугольного треугольника $AOE$ по теореме Пифагора: $AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{18^2 + 9^2} = \sqrt{324 + 81} = \sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5} = 9\sqrt{5}$. Так как $AC = 3 \cdot AE$, то $AC = 3 \cdot 9\sqrt{5} = 27\sqrt{5}$.

Ответ: $9\sqrt{13}$, $18\sqrt{13}$, $27\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ