Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$7x^2 - 10x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(7x - 10) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $7x - 10 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{10}{7}$.
Значит, область определения функции: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{10}{7}) \cup (\frac{10}{7}; +\infty)$.

2. Упростим выражение функции на её области определения:
$y = \frac{7x - 10}{x(7x - 10)}$
Сократим дробь на $(7x - 10)$, учитывая, что $x \neq \frac{10}{7}$:
$y = \frac{1}{x}$.
Таким образом, графиком данной функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с одной "выколотой" точкой.

3. Найдём координаты "выколотой" точки. Подставим $x = \frac{10}{7}$ в упрощённое уравнение $y = \frac{1}{x}$:
$y = \frac{1}{10/7} = \frac{7}{10} = 0,7$.
Точка, которую нужно исключить из графика: $A(1,4; 0,7)$ (или $A(\frac{10}{7}; \frac{7}{10})$). Также график не существует при $x = 0$, но гипербола и так не пересекает ось $Oy$.

4. Теперь определим, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Рассмотрим возможные случаи:
а) Прямая $y = kx$ проходит через "выколотую" точку $A(\frac{10}{7}; \frac{7}{10})$. В этом случае у прямой и исходного графика будет только одна точка пересечения (так как в самой точке $A$ графика нет, но прямая может пересечь гиперболу в другой ветви).
Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой:
$\frac{7}{10} = k \cdot \frac{10}{7}$
$k = \frac{7}{10} : \frac{10}{7} = \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100} = 0,49$.
При $k = 0,49$ прямая пересекает гиперболу в двух точках, но одна из них выколота, значит, общая точка одна.

б) Прямая $y = kx$ касается гиперболы $y = \frac{1}{x}$.
Приравняем выражения: $kx = \frac{1}{x}$.
$kx^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{k}$.
Уравнение имеет решение (точку касания), если $k > 0$. Однако, если $k > 0$, уравнение $x^2 = \frac{1}{k}$ всегда имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{1}{k}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{k}}$. Это значит, что прямая $y = kx$ при $k > 0$ всегда пересекает гиперболу в двух точках (в разных четвертях), либо не пересекает вовсе при $k \leq 0$.
Единственный способ получить одну точку — это когда одна из двух точек пересечения совпадает с "выколотой" точкой. Этот случай мы уже нашли: $k = 0,49$.

в) Проверим случай $k < 0$. Если $k < 0$, то прямая $y = kx$ проходит во второй и четвёртой четвертях, а гипербола $y = \frac{1}{x}$ расположена в первой и третьей. В этом случае общих точек нет.

г) Проверим случай $k = 0$. Прямая $y = 0$ (ось $Ox$) не имеет общих точек с гиперболой.

д) Важный нюанс: мы нашли $k = 0,49$, при котором прямая проходит через $A(\frac{10}{7}; 0,7)$. Вторая точка пересечения этой прямой с гиперболой $y = \frac{1}{x}$ будет иметь абсциссу $x$, такую что $0,49x = \frac{1}{x} \Rightarrow x^2 = \frac{1}{0,49} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{0,7}$. То есть $x_1 = \frac{10}{7}$ (выколота) и $x_2 = -\frac{10}{7}$ (существует). Значит, общая точка действительно одна.

Ответ: 0,49

Источник: ФИПИ