Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана кусочно. Построим график каждой части на соответствующем промежутке.

1) Рассмотрим первую часть функции: $y = -x^2 - 2x + 1$ при $x \geq -3$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
$y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.
Вершина находится в точке $(-1; 2)$.
Вычислим значения функции на границе и в нескольких точках:
При $x = -3$: $y = -(-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 1 = -9 + 6 + 1 = -2$. Точка $(-3; -2)$.
При $x = 0$: $y = 1$. Точка $(0; 1)$.
При $x = 1$: $y = -1 - 2 + 1 = -2$. Точка $(1; -2)$.

2) Рассмотрим вторую часть функции: $y = -x - 2$ при $x < -3$.
Это линейная функция, графиком является прямая. Для построения достаточно двух точек:
При $x = -4$: $y = -(-4) - 2 = 4 - 2 = 2$. Точка $(-4; 2)$.
При $x = -5$: $y = -(-5) - 2 = 5 - 2 = 3$. Точка $(-5; 3)$.
Заметим, что при приближении к границе $x = -3$ значение $y$ стремится к $-(-3) - 2 = 1$. Точка $(-3; 1)$ будет выколотой для этой части графика.

3) Построим график. Он состоит из луча прямой, идущего до $x = -3$ (не включая точку $(-3; 1)$), и части параболы, начинающейся от точки $(-3; -2)$ и уходящей вправо.

4) Определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки.
Просканируем график снизу вверх:
— При $m < -2$ прямая пересекает только левую ветвь параболы (1 точка).
— При $m = -2$ прямая проходит через точку $(-3; -2)$ и пересекает правую ветвь параболы (2 точки).
— При $-2 < m < 1$ прямая пересекает две ветви параболы (2 точки).
— При $m = 1$ прямая пересекает две ветви параболы и проходит через "пустую" точку прямой (2 точки).
— При $1 < m < 2$ прямая пересекает луч прямой (слева) и две ветви параболы (всего 3 точки).
— При $m = 2$ прямая касается вершины параболы и пересекает луч прямой (2 точки).
— При $m > 2$ прямая пересекает только луч прямой (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются при $m \in [-2; 1]$ и при $m = 2$.

Ответ: $[-2; 1]; 2$

Источник: ФИПИ