Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала упростим выражение, задающее функцию. Рассмотрим выражение под знаком модуля: $\frac{x}{2} - \frac{2}{x}$.
Выясним, при каких значениях $x$ оно неотрицательно, а при каких — отрицательно. Заметим, что $x \neq 0$.
$\frac{x}{2} - \frac{2}{x} = \frac{x^2 - 4}{2x} = \frac{(x-2)(x+2)}{2x}$.
Методом интервалов определим знаки этого выражения:
1) Выражение положительно на интервалах $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$.
2) Выражение отрицательно на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$.

Раскроем модуль в зависимости от знака подмодульного выражения:
Случай 1: Если $\frac{x}{2} - \frac{2}{x} \geq 0$, то есть $x \in [-2; 0) \cup [2; +\infty)$, модуль раскрывается с тем же знаком:
$y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} - \frac{2}{x} + \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot x = \frac{x}{2}$.
Случай 2: Если $\frac{x}{2} - \frac{2}{x} < 0$, то есть $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$, модуль раскрывается с противоположным знаком:
$y = \frac{1}{2} \left( -\left( \frac{x}{2} - \frac{2}{x} \right) + \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{2} + \frac{2}{x} + \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{x} \right) = \frac{2}{x}$.

Таким образом, функция имеет вид:
$y = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{если } x \in [-2; 0) \cup [2; +\infty) \\ \frac{2}{x}, & \text{если } x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2) \end{cases}$

Построим график:
1) На луче $[2; +\infty)$ строим часть прямой $y = \frac{x}{2}$. Начальная точка $(2; 1)$.
2) На полуинтервале $[-2; 0)$ строим часть прямой $y = \frac{x}{2}$. Точки: $(-2; -1)$ и выколотая точка, стремящаяся к $(0; 0)$.
3) На интервале $(0; 2)$ строим часть гиперболы $y = \frac{2}{x}$. При $x \to 0$, $y \to +\infty$. При $x = 2$, $y = 1$.
4) На луче $(-\infty; -2)$ строим часть гиперболы $y = \frac{2}{x}$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. При $x = -2$, $y = -1$.

Анализируем количество пересечений с горизонтальной прямой $y = m$:
— При $m > 1$: прямая пересекает только ветвь гиперболы на интервале $(0; 2)$ и луч прямой на $[2; +\infty)$. Это 2 точки.
— При $m = 1$: прямая проходит через "склейку" графиков в точке $(2; 1)$. Это 1 общая точка.
— При $0 < m < 1$: прямая пересекает гиперболу на $(0; 2)$ и прямую на $[2; +\infty)$. Это 2 точки.
— При $m = 0$: прямая $y = 0$ (ось $Ox$) не имеет общих точек с графиком, так как $x \neq 0$ и значения стремятся к нулю, но не достигают его.
— При $-1 < m < 0$: прямая пересекает прямую на $[-2; 0)$ и гиперболу на $(-\infty; -2)$. Это 2 точки.
— При $m = -1$: прямая проходит через "склейку" в точке $(-2; -1)$. Это 1 общая точка.
— При $m < -1$: прямая пересекает только прямую на $[-2; 0)$ и гиперболу на $(-\infty; -2)$. Это 2 точки.

Следовательно, ровно одна общая точка будет при $m = 1$ и $m = -1$.

Ответ: -1; 1

Источник: ФИПИ