Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция содержит дробь, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Найдём значения $x$, при которых выражение не имеет смысла:
$x^{2} - 5x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 5) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 0$ и $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Область определения функции: все числа, кроме $0$ и $5$.

2. Упрощение выражения.
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = 2 - \frac{x - 5}{x(x - 5)}$
При условии $x \neq 5$ мы можем сократить дробь на $(x - 5)$:
$y = 2 - \frac{1}{x}$
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = 2 - \frac{1}{x}$ везде, кроме точки с абсциссой $x = 5$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = 2 - \frac{1}{x}$ является гипербола, полученная из гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом вверх на $2$ единицы. У этой гиперболы есть горизонтальная асимптота $y = 2$ и вертикальная асимптота $x = 0$.
Найдём координаты "выколотой" точки. Подставим $x = 5$ в упрощённое уравнение:
$y(5) = 2 - \frac{1}{5} = 2 - 0,2 = 1,8$.
Точка с координатами $(5; 1,8)$ будет отсутствовать на графике.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
1) Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. Для функции $y = 2 - \frac{1}{x}$ это прямая $y = 2$. Значит, при $m = 2$ общих точек нет.
2) Если прямая проходит через "выколотую" точку графика. Мы нашли, что при $x = 5$ значение функции равно $1,8$. Значит, при $m = 1,8$ прямая $y = 1,8$ не пересечёт график, так как соответствующая точка на нём отсутствует.

Ответ: 1,8; 2

Источник: ФИПИ