Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$5x^2 - 8x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(5x - 8) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $5x - 8 \neq 0$, то есть $x \neq 1,6$.
Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1,6) \cup (1,6; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = \frac{5x - 8}{x(5x - 8)}$
При $x \neq 1,6$ сокращаем на $(5x - 8)$:
$y = \frac{1}{x}$
Таким образом, график данной функции — это гипербола $y = \frac{1}{x}$ с «выколотой» точкой, абсцисса которой $x = 1,6$.

3. Координаты «выколотой» точки.
Найдём ординату точки графика при $x = 1,6$:
$y = \frac{1}{1,6} = \frac{10}{16} = 0,625$.
Точка с координатами $(1,6; 0,625)$ не принадлежит графику.

4. Исследование пересечений с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0, 0)$.
Рассмотрим возможные случаи взаимодействия прямой и гиперболы:
а) Прямая $y = kx$ не имеет общих точек с гиперболой $y = \frac{1}{x}$, если уравнение $kx = \frac{1}{x}$ не имеет корней. Это происходит при $k \leq 0$. Однако при $k = 0$ прямая $y = 0$ (ось $Ox$) является асимптотой и не пересекает гиперболу. При $k < 0$ корней также нет.
б) Прямая $y = kx$ имеет общие точки с гиперболой, если уравнение $kx^2 = 1$ имеет корни. Это возможно только при $k > 0$. Тогда $x^2 = \frac{1}{k}$, откуда $x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}$. В обычном случае (для целой гиперболы) такая прямая имеет либо 0, либо 2 общие точки.
в) Ровно одна общая точка будет в том случае, если одна из двух точек пересечения прямой и гиперболы совпадёт с «выколотой» точкой графика.

5. Нахождение значения $k$.
Прямая $y = kx$ проходит через точку $(1,6; 0,625)$. Подставим координаты точки в уравнение прямой:
$0,625 = k \cdot 1,6$
$k = \frac{0,625}{1,6} = \frac{625}{1600} = \frac{25}{64} = 0,390625$.
При этом значении $k$ прямая пересекает гиперболу в точках $x = 1,6$ (точка выколота) и $x = -1,6$ (эта точка есть на графике). Значит, общая точка ровно одна.

Ответ: 0,390625

Источник: ФИПИ