Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

1. Построение первой части графика: $y = -x^2 - 2x - 3$ при $x \geq -2$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
$y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.
Вершина находится в точке $(-1; -2)$.
Вычислим значение функции на границе участка при $x = -2$:
$y(-2) = -(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3$.
Дополнительная точка для точности: при $x = 0$, $y = -3$.

2. Построение второй части графика: $y = -x - 7$ при $x < -2$.
Это прямая. Для её построения достаточно двух точек, лежащих в области $x < -2$:
При $x = -2$ (граничное значение): $y = -(-2) - 7 = 2 - 7 = -5$. Точка $(-2; -5)$ будет "выколотой" для этой части графика, но так как в первой части при $x = -2$ значение равно $-3$, на графике будет разрыв.
При $x = -4$: $y = -(-4) - 7 = 4 - 7 = -3$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает график ровно в двух точках.
Проследим за изменением $m$ снизу вверх:
— При $m < -5$: прямая пересекает только левую ветвь (прямую), то есть 1 точка.
— При $m = -5$: прямая проходит через "пустую" точку прямой и пересекает параболу. Итого 1 точка.
— При $-5 < m < -3$: прямая пересекает и луч, и правую ветвь параболы. Итого 2 точки.
— При $m = -3$: прямая проходит через точку $(-2; -3)$, через точку $(0; -3)$ на параболе и через точку на луче. Итого 3 точки.
— При $-3 < m < -2$: прямая пересекает луч и параболу в двух местах (слева и справа от вершины). Итого 3 точки.
— При $m = -2$: прямая проходит через вершину параболы $(-1; -2)$ и пересекает луч. Итого 2 точки.
— При $m > -2$: прямая пересекает только луч. Итого 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются в двух случаях:
1) Когда $m$ находится в интервале от $-5$ до $-3$ (не включая концы).
2) Когда $m = -2$ (касание вершины параболы и пересечение луча).

Ответ: $-5 < m < -3$; $m = -2$

Источник: ФИПИ