Задание №22 — Функции

#48386Задание №22ФИПИ

Функции и графики

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = \begin{matrix}- x^{2} - 2 x - 3 \\ - x - 7\end{matrix} & \begin{matrix}\text{ при } \\ \text{ при }\end{matrix} & \begin{matrix}x \geq - 2, \\ x < - 2.\end{matrix} \end{array}\right.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

1. Построение первой части графика: $y = -x^2 - 2x - 3$ при $x \geq -2$ .
Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$ .
$y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$ .
Вершина находится в точке $(-1; -2)$ .
Вычислим значение функции на границе участка при $x = -2$ :
$y(-2) = -(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3$ .
Дополнительная точка для точности: при $x = 0$ , $y = -3$ .

2. Построение второй части графика: $y = -x - 7$ при $x < -2$ .
Это прямая. Для её построения достаточно двух точек, лежащих в области $x < -2$ :
При $x = -2$ (граничное значение): $y = -(-2) - 7 = 2 - 7 = -5$ . Точка $(-2; -5)$ будет "выколотой" для этой части графика, но так как в первой части при $x = -2$ значение равно $-3$ , на графике будет разрыв.
При $x = -4$ : $y = -(-4) - 7 = 4 - 7 = -3$ .

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$ .
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$ , при которых эта прямая пересекает график ровно в двух точках.
Проследим за изменением $m$ снизу вверх:
— При $m < -5$ : прямая пересекает только левую ветвь (прямую), то есть 1 точка.
— При $m = -5$ : прямая проходит через "пустую" точку прямой и пересекает параболу. Итого 1 точка.
— При $-5 < m < -3$ : прямая пересекает и луч, и правую ветвь параболы. Итого 2 точки.
— При $m = -3$ : прямая проходит через точку $(-2; -3)$ , через точку $(0; -3)$ на параболе и через точку на луче. Итого 3 точки.
— При $-3 < m < -2$ : прямая пересекает луч и параболу в двух местах (слева и справа от вершины). Итого 3 точки.
— При $m = -2$ : прямая проходит через вершину параболы $(-1; -2)$ и пересекает луч. Итого 2 точки.
— При $m > -2$ : прямая пересекает только луч. Итого 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются в двух случаях:
1) Когда $m$ находится в интервале от $-5$ до $-3$ (не включая концы).
2) Когда $m = -2$ (касание вершины параболы и пересечение луча).

Ответ: $-5 < m < -3$ ; $m = -2$

Источник: ФИПИ