Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r = 42$, а $O_2$ — центр окружности радиуса $R = 84$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 84 + 42 = 126$.

2. Рассмотрим общую касательную $AC$. Точки $A$ и $C$ — точки касания, поэтому радиусы $O_1A$ и $O_2C$ перпендикулярны касательной $AC$. Следовательно, $O_1A \parallel O_2C$, и фигура $O_1ACO_2$ является прямоугольной трапецией.

3. Проведём из центра $O_1$ перпендикуляр $O_1H$ к радиусу $O_2C$. В прямоугольном треугольнике $O_1HO_2$ гипотенуза $O_1O_2 = 126$, а катет $O_2H = O_2C - HC = R - r = 84 - 42 = 42$.
Заметим, что $O_2H = \frac{1}{3} O_1O_2$. Найдём косинус угла $\alpha$ между линией центров $O_1O_2$ и радиусом $O_2C$:
$\cos \alpha = \frac{O_2H}{O_1O_2} = \frac{42}{126} = \frac{1}{3}$.

4. Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$ в силу симметрии чертежа относительно этой линии. Точки $A$ и $B$ симметричны относительно $O_1O_2$, значит, хорда $AB \perp O_1O_2$. Аналогично $CD \perp O_1O_2$.
Следовательно, расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно длине отрезка $MN$ на линии центров, где $M$ — точка пересечения $AB$ с $O_1O_2$, а $N$ — точка пересечения $CD$ с $O_1O_2$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1MA$. Угол $\angle AO_1M$ равен углу $\alpha$ (как углы при параллельных прямых $O_1A$ и $O_2C$). Тогда отрезок $O_1M = O_1A \cdot \cos \alpha = 42 \cdot \frac{1}{3} = 14$.
В прямоугольном треугольнике $O_2NC$ отрезок $O_2N = O_2C \cdot \cos \alpha = 84 \cdot \frac{1}{3} = 28$.

6. Искомое расстояние $MN$ складывается из отрезков на линии центров. Точка $M$ лежит правее $O_1$, а точка $N$ — левее $O_2$.
$MN = O_1O_2 - O_1M - O_2N = 126 - 14 - 28 = 84$.

Ответ: 84

Источник: ФИПИ