Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
- Задание №25№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
- Задание №25№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
- Задание №25№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
- Задание №25№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники
Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC
и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение
Решение.
1. Пусть O1 — центр окружности радиуса r=42, а O2 — центр окружности радиуса R=84. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: O1O2=R+r=84+42=126.
2. Рассмотрим общую касательную AC. Точки A и C — точки касания, поэтому радиусы O1A и O2C перпендикулярны касательной AC. Следовательно, O1A∥O2C, и фигура O1ACO2 является прямоугольной трапецией.
3. Проведём из центра O1 перпендикуляр O1H к радиусу O2C. В прямоугольном треугольнике O1HO2 гипотенуза O1O2=126, а катет O2H=O2C−HC=R−r=84−42=42.
Заметим, что O2H=31O1O2. Найдём косинус угла α между линией центров O1O2 и радиусом O2C:
cosα=O1O2O2H=12642=31.
4. Прямые AB и CD перпендикулярны линии центров O1O2 в силу симметрии чертежа относительно этой линии. Точки A и B симметричны относительно O1O2, значит, хорда AB⊥O1O2. Аналогично CD⊥O1O2.
Следовательно, расстояние между параллельными прямыми AB и CD равно длине отрезка MN на линии центров, где M — точка пересечения AB с O1O2, а N — точка пересечения CD с O1O2.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник O1MA. Угол ∠AO1M равен углу α (как углы при параллельных прямых O1A и O2C). Тогда отрезок O1M=O1A⋅cosα=42⋅31=14.
В прямоугольном треугольнике O2NC отрезок O2N=O2C⋅cosα=84⋅31=28.
6. Искомое расстояние MN складывается из отрезков на линии центров. Точка M лежит правее O1, а точка N — левее O2.
MN=O1O2−O1M−O2N=126−14−28=84.
Ответ: 84
Источник: ФИПИ