Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 3|x + 8| - x^2 - 14x - 48$ раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x + 8$ меняет знак в точке $x = -8$.

1. Рассмотрим случай $x \ge -8$:
В этом случае $|x + 8| = x + 8$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 3(x + 8) - x^2 - 14x - 48$
$y = 3x + 24 - x^2 - 14x - 48$
$y = -x^2 - 11x - 24$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-11}{2 \cdot (-1)} = -5,5$
$y_0 = -(-5,5)^2 - 11 \cdot (-5,5) - 24 = -30,25 + 60,5 - 24 = 6,25$
Точка стыка при $x = -8$: $y(-8) = -(-8)^2 - 11 \cdot (-8) - 24 = -64 + 88 - 24 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x < -8$:
В этом случае $|x + 8| = -(x + 8)$. Подставим в уравнение:
$y = 3(-(x + 8)) - x^2 - 14x - 48$
$y = -3x - 24 - x^2 - 14x - 48$
$y = -x^2 - 17x - 72$
Это также парабола с ветвями вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{-17}{2 \cdot (-1)} = -8,5$
$y_0 = -(-8,5)^2 - 17 \cdot (-8,5) - 72 = -72,25 + 144,5 - 72 = 0,25$
Точка стыка при $x = -8$: $y(-8) = -(-8)^2 - 17 \cdot (-8) - 72 = -64 + 136 - 72 = 0$.

3. Анализ графика и поиск значений $m$:
График состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(-8; 0)$.
Левая часть (при $x < -8$) имеет вершину в точке $(-8,5; 0,25)$.
Правая часть (при $x \ge -8$) имеет вершину в точке $(-5,5; 6,25)$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Она будет иметь с графиком ровно три общие точки в следующих случаях:
1) Когда прямая проходит через вершину "меньшей" параболы. В нашем случае это вершина левой параболы, где $y = 0,25$. Тогда точки пересечения: сама вершина и две точки на ветвях правой параболы.
2) Когда прямая проходит через точку стыка парабол, если эта точка не является вершиной. В нашем случае это точка $(-8; 0)$. При $y = 0$ прямая пересекает график в точке стыка и в двух точках на внешних ветвях парабол.

Таким образом, условию задачи соответствуют значения $m = 0$ и $m = 0,25$.

Ответ: 0; 0,25

Источник: ФИПИ