Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $\angle A$ и $\angle D$ — углы при основании $AD$ трапеции $ABCD$. По условию $\angle A + \angle D = 90^\circ$. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$. Рассмотрим треугольник $AED$. Так как сумма двух его углов равна $90^\circ$, то третий угол $\angle E = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AED$ — прямоугольный.

2. Заметим, что треугольники $BEC$ и $AED$ подобны по двум углам (угол $E$ общий, $\angle EBC = \angle EAD$ как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$). Коэффициент подобия равен отношению оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

3. Обозначим отрезок $EB = x$. Тогда $EA = EB + AB = x + 14$. Из подобия треугольников следует: $\frac{EB}{EA} = k$, то есть $\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{8}$. Решим уравнение: $8x = x + 14$, откуда $7x = 14$, значит, $x = 2$. Таким образом, $EB = 2$, а $EA = 2 + 14 = 16$.

4. Окружность проходит через точки $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ (которая совпадает с прямой $ED$). Пусть точка касания — $K$. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $E$ к окружности: $EK^2 = EB \cdot EA$. Подставим значения: $EK^2 = 2 \cdot 16 = 32$, откуда $EK = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

5. Введем систему координат с началом в точке $E(0; 0)$. Пусть сторона $EA$ лежит на оси $Ox$, а сторона $ED$ — на оси $Oy$ (так как $\angle E = 90^\circ$). Тогда координаты точек: $A(16; 0)$, $B(2; 0)$. Точка касания $K$ лежит на оси $Oy$, ее координаты $K(0; 4\sqrt{2})$.

6. Пусть центр искомой окружности имеет координаты $O(x_0; y_0)$, а ее радиус равен $R$. Так как окружность касается оси $Oy$ в точке $K(0; 4\sqrt{2})$, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, центр лежит на прямой $y = 4\sqrt{2}$, то есть $y_0 = 4\sqrt{2}$, а радиус $R = |x_0|$.

7. Расстояние от центра $O(x_0; 4\sqrt{2})$ до точки $A(16; 0)$ также равно радиусу $R$. Используем формулу расстояния между точками: $(16 - x_0)^2 + (0 - 4\sqrt{2})^2 = R^2$. Заменяя $R^2$ на $x_0^2$, получаем: $256 - 32x_0 + x_0^2 + 32 = x_0^2$. Отсюда $32x_0 = 288$, следовательно, $x_0 = 9$.

8. Таким образом, радиус окружности $R = |x_0| = 9$.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ