Задание №25 — Геометрия

#48389Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

В трапеции $A B C D$ основания $A D$ и $B C$ равны соответственно 32 и 4,
а сумма углов при основании $A D$ равна $90 °$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $C D$ , если $A B = 14$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Пусть $\angle A$ и $\angle D$ — углы при основании $AD$ трапеции $ABCD$ . По условию $\angle A + \angle D = 90^\circ$ . Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$ . Рассмотрим треугольник $AED$ . Так как сумма двух его углов равна $90^\circ$ , то третий угол $\angle E = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ . Таким образом, треугольник $AED$ — прямоугольный.

2. Заметим, что треугольники $BEC$ и $AED$ подобны по двум углам (угол $E$ общий, $\angle EBC = \angle EAD$ как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$ ). Коэффициент подобия равен отношению оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ .

3. Обозначим отрезок $EB = x$ . Тогда $EA = EB + AB = x + 14$ . Из подобия треугольников следует: $\frac{EB}{EA} = k$ , то есть $\frac{x}{x + 14} = \frac{1}{8}$ . Решим уравнение: $8x = x + 14$ , откуда $7x = 14$ , значит, $x = 2$ . Таким образом, $EB = 2$ , а $EA = 2 + 14 = 16$ .

4. Окружность проходит через точки $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ (которая совпадает с прямой $ED$ ). Пусть точка касания — $K$ . По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $E$ к окружности: $EK^2 = EB \cdot EA$ . Подставим значения: $EK^2 = 2 \cdot 16 = 32$ , откуда $EK = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ .

5. Введем систему координат с началом в точке $E(0; 0)$ . Пусть сторона $EA$ лежит на оси $Ox$ , а сторона $ED$ — на оси $Oy$ (так как $\angle E = 90^\circ$ ). Тогда координаты точек: $A(16; 0)$ , $B(2; 0)$ . Точка касания $K$ лежит на оси $Oy$ , ее координаты $K(0; 4\sqrt{2})$ .

6. Пусть центр искомой окружности имеет координаты $O(x_0; y_0)$ , а ее радиус равен $R$ . Так как окружность касается оси $Oy$ в точке $K(0; 4\sqrt{2})$ , то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, центр лежит на прямой $y = 4\sqrt{2}$ , то есть $y_0 = 4\sqrt{2}$ , а радиус $R = |x_0|$ .

7. Расстояние от центра $O(x_0; 4\sqrt{2})$ до точки $A(16; 0)$ также равно радиусу $R$ . Используем формулу расстояния между точками: $(16 - x_0)^2 + (0 - 4\sqrt{2})^2 = R^2$ . Заменяя $R^2$ на $x_0^2$ , получаем: $256 - 32x_0 + x_0^2 + 32 = x_0^2$ . Отсюда $32x_0 = 288$ , следовательно, $x_0 = 9$ .

8. Таким образом, радиус окружности $R = |x_0| = 9$ .

Ответ: 9

Источник: ФИПИ