Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $a$ — меньшее основание трапеции, $b$ — большее основание, $c$ — боковая сторона. Так как трапеция равнобедренная, обе её боковые стороны равны $c$.

2. По свойству описанного четырёхугольника: если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон.
$a + b = c + c = 2c$

3. Периметр трапеции $P = a + b + 2c$. Подставим известное значение периметра и соотношение из предыдущего шага:
$40 = 2c + 2c$, откуда $4c = 40$, значит $c = 10$.
Следовательно, сумма оснований $a + b = 2c = 20$.

4. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.
Подставим известные значения: $80 = \frac{20}{2} \cdot h$, то есть $80 = 10h$.
Отсюда высота трапеции $h = 8$.

5. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольники, образованные основаниями и точкой $O$. Треугольник, прилежащий к меньшему основанию, подобен треугольнику, прилежащему к большему основанию (по двум углам, так как основания параллельны).
Коэффициент подобия $k = \frac{a}{b}$.
Пусть $h_1$ — расстояние от точки $O$ до меньшего основания $a$, а $h_2$ — расстояние до большего основания $b$. Тогда $h_1 + h_2 = h = 8$.
Из подобия треугольников следует, что их высоты относятся так же, как основания: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b}$.

6. Найдём длины оснований $a$ и $b$. Проведём высоты из вершин меньшего основания. Они отсекают на большем основании прямоугольник со стороной $a$ и два равных прямоугольных треугольника с катетами $\frac{b - a}{2}$.
По теореме Пифагора для боковой стороны: $c^2 = h^2 + (\frac{b - a}{2})^2$.
$10^2 = 8^2 + (\frac{b - a}{2})^2$,
$100 = 64 + (\frac{b - a}{2})^2$,
$(\frac{b - a}{2})^2 = 36$, значит $\frac{b - a}{2} = 6$, откуда $b - a = 12$.

7. Имеем систему уравнений:
$\begin{cases} b + a = 20 \\ b - a = 12 \end{cases}$
Складывая уравнения, получаем $2b = 32$, то есть $b = 16$. Тогда $a = 20 - 16 = 4$.

8. Теперь найдём $h_1$. Мы знаем, что $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Значит, $h_2 = 4h_1$.
Так как $h_1 + h_2 = 8$, подставим выражение для $h_2$:
$h_1 + 4h_1 = 8$,
$5h_1 = 8$,
$h_1 = \frac{8}{5} = 1,6$.

Ответ: 1,6

Источник: ФИПИ