Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $K$ . Найдите площадь параллелограмма, если $B C = 17$ , а расстояние от точки $K$ до стороны $A B$ равно 10.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ . Так как $AD \parallel BC$ , то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$ . Следовательно, их сумма равна $180^\circ$ : $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

2. По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$ .
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна:
$\angle KAB + \angle KBA + \angle AKB = 180^\circ$ .
Подставим значения: $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B + \angle AKB = 180^\circ$ .
$\frac{1}{2} (\angle A + \angle B) + \angle AKB = 180^\circ$ .
$\frac{1}{2} \cdot 180^\circ + \angle AKB = 180^\circ$ , откуда $90^\circ + \angle AKB = 180^\circ$ , значит $\angle AKB = 90^\circ$ . Треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3. Проведём через точку $K$ перпендикуляр к прямым $AD$ и $BC$ . Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону $BC$ в точке $M$ , а сторону $AD$ в точке $N$ . Отрезок $MN$ является высотой параллелограмма $h$ , так как он перпендикулярен параллельным основаниям.

4. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ . По свойству биссектрисы, любая её точка равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $AD$ . По условию расстояние до $AB$ равно 10, значит $KN = 10$ .

5. Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ . Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$ . Следовательно, $KM = 10$ .

6. Высота параллелограмма $h = MN = MK + KN = 10 + 10 = 20$ .

7. Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$ , где $a$ — сторона, к которой проведена высота. В нашем случае $a = BC = 17$ , а $h = 20$ .
$S = 17 \cdot 20 = 340$ .

Ответ: 340

Источник: ФИПИ