Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$. Так как $AD \parallel BC$, то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2. По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$.
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна:
$\angle KAB + \angle KBA + \angle AKB = 180^\circ$.
Подставим значения: $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B + \angle AKB = 180^\circ$.
$\frac{1}{2} (\angle A + \angle B) + \angle AKB = 180^\circ$.
$\frac{1}{2} \cdot 180^\circ + \angle AKB = 180^\circ$, откуда $90^\circ + \angle AKB = 180^\circ$, значит $\angle AKB = 90^\circ$. Треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3. Проведём через точку $K$ перпендикуляр к прямым $AD$ и $BC$. Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а сторону $AD$ в точке $N$. Отрезок $MN$ является высотой параллелограмма $h$, так как он перпендикулярен параллельным основаниям.

4. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$. По свойству биссектрисы, любая её точка равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $AD$. По условию расстояние до $AB$ равно 10, значит $KN = 10$.

5. Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$. Следовательно, $KM = 10$.

6. Высота параллелограмма $h = MN = MK + KN = 10 + 10 = 20$.

7. Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, к которой проведена высота. В нашем случае $a = BC = 17$, а $h = 20$.
$S = 17 \cdot 20 = 340$.

Ответ: 340

Источник: ФИПИ