Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника $ABCD$. Это означает, что расстояния от точки $M$ до каждой вершины равны: $MA = MB = MC = MD$.

2. Так как $MA = MB = MC = MD$, точка $M$ является центром некоторой окружности, на которой лежат все вершины четырёхугольника $A, B, C$ и $D$. Следовательно, четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $M$.

3. Поскольку $M$ лежит на стороне $AD$ и $MA = MD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности. Любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Однако в нашей задаче углы $B$ и $C$ не равны $90^\circ$, так как они являются углами четырёхугольника, а не треугольника, опирающегося на диаметр. Рассмотрим треугольники внутри окружности.

4. Рассмотрим треугольники $AMB$, $BMC$ и $CMD$. Все они являются равнобедренными, так как их боковые стороны — это радиусы окружности ($R = MA = MB = MC = MD$).

5. Пусть $\angle MAB = \angle MBA = \alpha$ и $\angle MDC = \angle MCD = \beta$.
Тогда в равнобедренном треугольнике $BMC$ углы при основании равны: $\angle MBC = \angle MCB = \gamma$.

6. Выразим углы $B$ и $C$ четырёхугольника через введённые переменные:
$\angle B = \angle MBA + \angle MBC = \alpha + \gamma = 115^\circ$
$\angle C = \angle MCD + \angle MCB = \beta + \gamma = 95^\circ$

7. Сумма углов вписанного четырёхугольника, прилежащих к одной стороне $AD$, нам не известна напрямую, но мы знаем, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$.
$\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \alpha + 95^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$.
$\angle D + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \beta + 115^\circ = 180^\circ \Rightarrow \beta = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

8. Теперь найдем угол $\gamma$, используя уравнение для угла $B$:
$\gamma = 115^\circ - \alpha = 115^\circ - 85^\circ = 30^\circ$.

9. Рассмотрим треугольник $BMC$. В нём $\angle MBC = \angle MCB = 30^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, центральный угол $BMC$:
$\angle BMC = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

10. По теореме косинусов для треугольника $BMC$ (где $MB = MC = R$):
$BC^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$
$12^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-0,5)$
$144 = 2R^2 + R^2$
$144 = 3R^2$
$R^2 = 48$
$R = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

11. Сторона $AD$ является диаметром окружности, поэтому $AD = 2R$:
$AD = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Ответ: $8\sqrt{3}$

Источник: ФИПИ