Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = |x^{2} + 5x + 4|$. Построение будем проводить в несколько этапов.

1. Построение вспомогательной параболы.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^{2} + 5x + 4$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ равен $1 > 0$).
Найдем координаты вершины параболы $(x_{0}; y_{0})$:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2,5$.
$y_{0} = f(-2,5) = (-2,5)^{2} + 5 \cdot (-2,5) + 4 = 6,25 - 12,5 + 4 = -2,25$.
Вершина параболы находится в точке $(-2,5; -2,25)$.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат.
С осью $Ox$ ($y = 0$):
$x^{2} + 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_{1} = -4$, $x_{2} = -1$.
Точки пересечения: $(-4; 0)$ и $(-1; 0)$.
С осью $Oy$ ($x = 0$):
$y = 0^{2} + 5 \cdot 0 + 4 = 4$.
Точка пересечения: $(0; 4)$.

3. Построение графика с модулем.
График функции $y = |x^{2} + 5x + 4|$ получается из графика параболы $y = x^{2} + 5x + 4$ следующим образом: те части параболы, которые лежат выше оси $Ox$ или на ней, остаются без изменений, а часть, лежащая ниже оси $Ox$ (вершина и прилегающая область), зеркально отражается относительно оси $Ox$ вверх.
Таким образом, вершина новой фигуры будет иметь координаты $(-2,5; 2,25)$.

4. Исследование количества общих точек с прямой.
Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения $c$:
— При $c < 0$: точек пересечения нет (0 точек).
— При $c = 0$: прямая совпадает с осью $Ox$, имеем 2 точки пересечения ($x = -4$ и $x = -1$).
— При $0 < c < 2,25$: прямая проходит между осью $Ox$ и отраженной вершиной. В этом случае прямая пересекает график в 4 точках.
— При $c = 2,25$: прямая проходит через отраженную вершину. Имеем 3 точки пересечения.
— При $c > 2,25$: прямая проходит выше вершины. Имеем 2 точки пересечения.

Следовательно, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ