Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Преобразование функции.
Прежде чем строить график, упростим выражение функции. Заметим, что в знаменателе можно вынести общий множитель за скобки:
$y = \frac{3x + 5}{x(3x + 5)}$.
Мы можем сократить дробь на выражение $(3x + 5)$, но при этом необходимо учесть область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю.

2. Область определения.
Функция определена, если $3x^2 + 5x \neq 0$.
Разложим на множители: $x(3x + 5) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 0$ и $3x + 5 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{5}{3}$.
Таким образом, после сокращения мы получаем функцию $y = \frac{1}{x}$ при условии, что $x \neq -\frac{5}{3}$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = \frac{1}{x}$ является гипербола. Однако из неё нужно исключить ("выколоть") точку с абсциссой $x = -\frac{5}{3}$.
Найдём ординату этой точки:
$y = \frac{1}{-5/3} = -0,6$.
Значит, точка с координатами $(-\frac{5}{3}; -0,6)$ не принадлежит графику.

4. Анализ пересечений с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Нам нужно найти такие $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Составим уравнение: $kx = \frac{1}{x}$.
Умножим на $x$ (так как $x \neq 0$): $kx^2 = 1$.
Отсюда $x^2 = \frac{1}{k}$.

Рассмотрим возможные случаи:
— Если $k < 0$, уравнение $x^2 = \frac{1}{k}$ не имеет корней (квадрат числа не может быть отрицательным). Точек пересечения нет.
— Если $k = 0$, прямая $y = 0$ (ось $Ox$) не пересекает гиперболу, так как $y = \frac{1}{x}$ никогда не равно нулю.
— Если $k > 0$, уравнение $x^2 = \frac{1}{k}$ имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{1}{k}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{k}}$. Это означает, что прямая пересекает гиперболу в двух точках.

5. Учёт "выколотой" точки.
Ровно одна общая точка будет в том случае, если одна из двух точек пересечения прямой и гиперболы совпадёт с "выколотой" точкой графика. В этом случае одна точка пересечения "исчезнет", и останется только одна реальная общая точка.
Подставим координаты выколотой точки $(-\frac{5}{3}; -0,6)$ в уравнение прямой $y = kx$:
$-0,6 = k \cdot (-\frac{5}{3})$
$-\frac{3}{5} = k \cdot (-\frac{5}{3})$
$k = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0,36$.

При $k = 0,36$ прямая проходит через точку $(-\frac{5}{3}; -0,6)$ и через симметричную ей точку на другой ветви гиперболы. Так как точка $(-\frac{5}{3}; -0,6)$ исключена из графика, остаётся ровно одна точка пересечения.

Ответ: 0,36

Источник: ФИПИ