Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Это значит, что на графике точка с абсциссой $x = 1$ будет «выколотой».

2. Упрощение выражения.
Заметим, что в числителе есть множитель $(x - 1)$, а в знаменателе — $(1 - x)$. Мы можем вынести минус за скобку в знаменателе: $1 - x = -(x - 1)$.
Тогда при $x \neq 1$ функция принимает вид:
$y = \frac{(x^2 + 4)(x - 1)}{-(x - 1)} = -(x^2 + 4) = -x^2 - 4$.
Таким образом, графиком данной функции является парабола $y = -x^2 - 4$ с «выколотой» точкой, абсцисса которой $x = 1$.

3. Построение графика.
Парабола $y = -x^2 - 4$ имеет вершину в точке $(0; -4)$, ветви направлены вниз.
Найдем координаты «выколотой» точки: при $x = 1$ значение $y = -(1^2) - 4 = -5$. Точка с координатами $(1; -5)$ не принадлежит графику.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти такие значения $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Рассмотрим два случая:
Случай А: Прямая касается параболы.
Составим уравнение: $kx = -x^2 - 4$.
Перенесем всё в одну сторону: $x^2 + kx + 4 = 0$.
Квадратное уравнение имеет ровно один корень (точка касания), когда его дискриминант равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16$.
$k^2 - 16 = 0 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4$ или $k = -4$.
Проверим, не совпадает ли точка касания с «выколотой» точкой.
Если $k = 4$, то $x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (подходит, так как $-2 \neq 1$).
Если $k = -4$, то $x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (подходит, так как $2 \neq 1$).

Случай Б: Прямая проходит через «выколотую» точку $(1; -5)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них «выколота», поэтому общая точка останется только одна.
Подставим координаты точки $(1; -5)$ в уравнение прямой $y = kx$:
$-5 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -5$.

Таким образом, условие «ровно одна общая точка» выполняется при $k = -4$, $k = 4$ и $k = -5$.

Ответ: -5; -4; 4.

Источник: ФИПИ