Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$. Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$.

2. По условию задачи точка $O$ делит высоту $BH$ в отношении $5:3$, считая от вершины $B$. Это значит, что $\frac{BO}{OH} = \frac{5}{3}$.

3. Рассмотрим треугольник $ABH$. В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (так как $AO$ лежит на биссектрисе $AL$). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{5}{3}$.

4. Пусть $AB = 5x$, тогда $AH = 3x$. Треугольник $ABH$ является прямоугольным (так как $BH$ — высота). По теореме Пифагора:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (5x)^2 - (3x)^2 = 25x^2 - 9x^2 = 16x^2$.
Отсюда $BH = \sqrt{16x^2} = 4x$.

5. Теперь найдём синус угла $A$ из прямоугольного треугольника $ABH$:
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5} = 0,8$.

6. По теореме синусов для треугольника $ABC$: отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности ($2R$):
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$.

7. Подставим известные значения ($BC = 16$ и $\sin A = 0,8$) в формулу:
$\frac{16}{0,8} = 2R$,
$20 = 2R$,
$R = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ