Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция кусочно-задана. Построим её график по участкам.

1) При $x \geq 4$ функция имеет вид $y = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.
Это часть параболы с вершиной в точке $(5;\,0)$, ветви направлены вверх.
На границе при $x = 4$: $y = (4 - 5)^2 = 1$, точка $(4;\,1)$ принадлежит графику (неравенство нестрогое).
При $x = 6$: $y = (6 - 5)^2 = 1$.
Таким образом, участок начинается в точке $(4;\,1)$, опускается до вершины $(5;\,0)$, а затем возрастает до $+\infty$. Значения $y$ от $0$ до $1$ достигаются на этом участке дважды, значения $y > 1$ — по одному разу (только правая ветвь).

2) При $x < 4$ функция имеет вид $y = x - 2$ — часть прямой.
На границе при $x = 4$: $y = 4 - 2 = 2$, но точка $(4;\,2)$ «выколота», так как неравенство строгое $(x < 4)$.
При $x = 0$: $y = -2$. Этот луч покрывает все значения $y < 2$.

3) В точке $x = 4$ график имеет разрыв: левый луч подходит к выколотой точке $(4;\,2)$, а парабола начинается в точке $(4;\,1)$.

4) Определим, при каких $m$ горизонтальная прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Будем перемещать прямую снизу вверх.
— При $m < 0$: прямая пересекает только луч $y = x - 2$ — $1$ точка.
— При $m = 0$: прямая касается вершины параболы $(5;\,0)$ и пересекает луч в точке $(2;\,0)$ — 2 точки.
— При $0 < m < 1$: прямая пересекает параболу в двух точках (обе ветви от $x = 4$) и луч в одной — $3$ точки.
— При $m = 1$: прямая проходит через точки параболы $(4;\,1)$ и $(6;\,1)$ (обе принадлежат графику) и через точку луча $(3;\,1)$ — $3$ точки.
— При $1 < m < 2$: левая часть параболы охватывает лишь $0 \leq y \leq 1$, поэтому парабола даёт $1$ точку (правая ветвь $x = 5 + \sqrt{m}$), а луч — $1$ точку $(x = m + 2 < 4)$ — 2 точки.
— При $m = 2$: точка луча $(4;\,2)$ выколота, остаётся только правая ветвь параболы — $1$ точка.
— При $m > 2$: уравнение луча даёт $x = m + 2 > 4$, что не входит в участок $x < 4$, поэтому луч точек не даёт; парабола даёт $1$ точку — $1$ точка.

Итак, ровно две общие точки прямая $y = m$ имеет при $m = 0$ и при $1 < m < 2$.

Ответ: $m = 0$; $1 < m < 2$.