Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = 3|x + 7| - x^2 - 13x - 42$ сначала раскроем модуль по определению. Выражение под модулем $x + 7$ меняет знак в точке $x = -7$.

1. Рассмотрим случай, когда $x + 7 \ge 0$, то есть $x \ge -7$:
В этом случае $|x + 7| = x + 7$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 3(x + 7) - x^2 - 13x - 42$
$y = 3x + 21 - x^2 - 13x - 42$
$y = -x^2 - 10x - 21$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot (-1)} = -5$
$y_0 = -(-5)^2 - 10 \cdot (-5) - 21 = -25 + 50 - 21 = 4$
Вершина первой параболы — точка $(-5; 4)$. Заметим, что при $x = -7$ значение $y = -(-7)^2 - 10 \cdot (-7) - 21 = -49 + 70 - 21 = 0$.

2. Рассмотрим случай, когда $x + 7 < 0$, то есть $x < -7$:
В этом случае $|x + 7| = -(x + 7)$. Подставим в уравнение:
$y = 3(-(x + 7)) - x^2 - 13x - 42$
$y = -3x - 21 - x^2 - 13x - 42$
$y = -x^2 - 16x - 63$
Это также парабола с ветвями вниз. Найдем координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-16}{2 \cdot (-1)} = -8$
$y_0 = -(-8)^2 - 16 \cdot (-8) - 63 = -64 + 128 - 63 = 1$
Вершина второй параболы — точка $(-8; 1)$. При $x = -7$ значение $y = -(-7)^2 - 16 \cdot (-7) - 63 = -49 + 112 - 63 = 0$.

3. Анализ графика и поиск значений $m$:
График состоит из двух частей парабол, которые "склеиваются" в точке $(-7; 0)$.
Левая часть (при $x < -7$) имеет вершину в точке $(-8; 1)$.
Правая часть (при $x \ge -7$) имеет вершину в точке $(-5; 4)$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком ровно три общие точки в двух случаях:
1) Когда прямая проходит через вершину "нижней" параболы. Это происходит при $m = 1$. В этой ситуации одна точка — вершина левой параболы, и еще две точки — на ветвях правой параболы.
2) Когда прямая проходит через точку "склейки" парабол. Это происходит при $m = 0$. В этой ситуации одна точка — это $(-7; 0)$, и еще по одной точке на каждой из внешних ветвей парабол.

При $m < 0$ будет 2 точки. При $0 < m < 1$ будет 4 точки. При $m = 1$ будет 3 точки. При $1 < m < 4$ будет 2 точки. При $m = 4$ будет 1 точка. При $m > 4$ точек нет.

Ответ: 0; 1

Источник: ФИПИ