Задание №25 — Геометрия

#48399Задание №25ФИПИ

Многоугольники

Боковые стороны $A B$ и $C D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 16 и 34,
а основание $B C$ равно 2. Биссектриса угла $A D C$ проходит через середину стороны $A B$ . Найдите площадь трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$ . По условию $AM = MB = 16 : 2 = 8$ . Биссектриса угла $D$ проходит через точку $M$ , значит, луч $DM$ является биссектрисой угла $ADC$ , то есть $\angle ADM = \angle MDC$ .

2) Продолжим прямую $DM$ до пересечения с продолжением основания $BC$ в точке $K$ . Рассмотрим треугольники $ADM$ и $BKM$ . В них:
— $AM = MB$ (так как $M$ — середина $AB$ );
— $\angle MAD = \angle MBK$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ ;
— $\angle AMD = \angle BMK$ как вертикальные.
Следовательно, $\triangle ADM = \triangle BKM$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) Из равенства треугольников следует, что $AD = BK$ и $DM = MK$ .
Заметим, что $\angle KDC = \angle ADK$ (так как $DM$ — биссектриса).
Также $\angle BKDC = \angle ADK$ как накрест лежащие при $AD \parallel BK$ и секущей $DK$ .
Значит, в треугольнике $KCD$ углы при основании $DK$ равны: $\angle KDC = \angle DKC$ . Следовательно, $\triangle KCD$ — равнобедренный с основанием $DK$ , откуда $KC = CD = 34$ .

4) Так как $KC = KB + BC$ , мы можем найти $KB$ :
$KB = KC - BC = 34 - 2 = 32$ .
Поскольку $AD = BK$ , получаем, что нижнее основание трапеции $AD = 32$ .

5) Теперь нам известны все стороны трапеции: $AB = 16$ , $BC = 2$ , $CD = 34$ , $AD = 32$ . Для нахождения площади нужно найти высоту $h$ .
Проведём из вершины $B$ прямую, параллельную $CD$ , до пересечения с $AD$ в точке $P$ .
Тогда $BCDP$ — параллелограмм, значит $PD = BC = 2$ и $BP = CD = 34$ .
Найдём отрезок $AP$ : $AP = AD - PD = 32 - 2 = 30$ .

6) Рассмотрим треугольник $ABP$ . Его стороны равны $16, 34, 30$ . Заметим, что высота трапеции $h$ совпадает с высотой этого треугольника, опущенной на сторону $AP$ .
Проверим, не является ли треугольник прямоугольным: $16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$ , а $34^2 = 1156$ .
Так как $16^2 + 30^2 = 34^2$ , то по обратной теореме Пифагора $\triangle ABP$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$ .
Значит, сторона $AB$ и есть высота трапеции: $h = AB = 16$ .

7) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$ :
$S = \frac{32 + 2}{2} \cdot 16 = \frac{34}{2} \cdot 16 = 17 \cdot 16 = 272$ .

Ответ: 272

Источник: ФИПИ