Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 16 : 2 = 8$. Биссектриса угла $D$ проходит через точку $M$, значит, луч $DM$ является биссектрисой угла $ADC$, то есть $\angle ADM = \angle MDC$.

2) Продолжим прямую $DM$ до пересечения с продолжением основания $BC$ в точке $K$. Рассмотрим треугольники $ADM$ и $BKM$. В них:
— $AM = MB$ (так как $M$ — середина $AB$);
— $\angle MAD = \angle MBK$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$;
— $\angle AMD = \angle BMK$ как вертикальные.
Следовательно, $\triangle ADM = \triangle BKM$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) Из равенства треугольников следует, что $AD = BK$ и $DM = MK$.
Заметим, что $\angle KDC = \angle ADK$ (так как $DM$ — биссектриса).
Также $\angle BKDC = \angle ADK$ как накрест лежащие при $AD \parallel BK$ и секущей $DK$.
Значит, в треугольнике $KCD$ углы при основании $DK$ равны: $\angle KDC = \angle DKC$. Следовательно, $\triangle KCD$ — равнобедренный с основанием $DK$, откуда $KC = CD = 34$.

4) Так как $KC = KB + BC$, мы можем найти $KB$:
$KB = KC - BC = 34 - 2 = 32$.
Поскольку $AD = BK$, получаем, что нижнее основание трапеции $AD = 32$.

5) Теперь нам известны все стороны трапеции: $AB = 16$, $BC = 2$, $CD = 34$, $AD = 32$. Для нахождения площади нужно найти высоту $h$.
Проведём из вершины $B$ прямую, параллельную $CD$, до пересечения с $AD$ в точке $P$.
Тогда $BCDP$ — параллелограмм, значит $PD = BC = 2$ и $BP = CD = 34$.
Найдём отрезок $AP$: $AP = AD - PD = 32 - 2 = 30$.

6) Рассмотрим треугольник $ABP$. Его стороны равны $16, 34, 30$. Заметим, что высота трапеции $h$ совпадает с высотой этого треугольника, опущенной на сторону $AP$.
Проверим, не является ли треугольник прямоугольным: $16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$, а $34^2 = 1156$.
Так как $16^2 + 30^2 = 34^2$, то по обратной теореме Пифагора $\triangle ABP$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.
Значит, сторона $AB$ и есть высота трапеции: $h = AB = 16$.

7) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$:
$S = \frac{32 + 2}{2} \cdot 16 = \frac{34}{2} \cdot 16 = 17 \cdot 16 = 272$.

Ответ: 272

Источник: ФИПИ