Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 4 \neq 0$, откуда $x \neq 4$.

2. Упростим выражение функции. Вынесем общий множитель $0,25x$ за скобки в числителе:
$y = \frac{0,25x(x - 4) \cdot |x|}{x - 4}$.
При условии $x \neq 4$ мы можем сократить дробь на $(x - 4)$. Получим:
$y = 0,25x \cdot |x|$.

3. Раскроем модуль по определению:
— Если $x \geq 0$ (и $x \neq 4$), то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 0,25x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
— Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -0,25x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Построим график. Он состоит из двух частей парабол с «выколотой» точкой. Найдём координаты этой точки: при $x = 4$ значение $y = 0,25 \cdot 4^2 = 0,25 \cdot 16 = 4$. Значит, точка $(4; 4)$ не принадлежит графику.

5. Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) не имеет с графиком общих точек:
— Прямая $y = m$ не будет иметь общих точек, если она проходит через «выколотую» точку графика. Координата $y$ этой точки равна $4$, следовательно, при $m = 4$ пересечений нет.
— Других разрывов или ограничений по оси $y$ у данных ветвей парабол нет, так как они непрерывно уходят в бесконечность (вверх и вниз), а в вершине $(0; 0)$ обе ветви смыкаются.

Таким образом, единственное значение $m$, при котором нет общих точек — это $4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ