Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Прежде чем строить график, найдём значения $x$, при которых функция существует. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$2x^2 + 5x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(2x + 5) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $2x + 5 \neq 0$, то есть $x \neq -2,5$.
Область определения: $x \in (-\infty; -2,5) \cup (-2,5; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = \frac{2x + 5}{x(2x + 5)}$
При условии $x \neq -2,5$, мы можем сократить на выражение $(2x + 5)$:
$y = \frac{1}{x}$
Таким образом, график данной функции — это гипербола $y = \frac{1}{x}$ с одной «выколотой» точкой. Найдем координаты этой точки. Подставим $x = -2,5$ в упрощенное уравнение:
$y = \frac{1}{-2,5} = -\frac{10}{25} = -0,4$.
Точка, которую нужно исключить из графика: $A(-2,5; -0,4)$.

3. Исследование пересечений с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Нам нужно найти такие $k$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Составим уравнение:
$kx = \frac{1}{x}$
Умножим обе части на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$):
$kx^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{k}$

Рассмотрим возможные случаи:
— Если $k < 0$, то уравнение $x^2 = \frac{1}{k}$ не имеет корней. Общих точек нет.
— Если $k = 0$, то уравнение $0 = 1$ не имеет корней. Общих точек нет.
— Если $k > 0$, то уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{1}{k}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{k}}$. Это дает две точки пересечения с «полной» гиперболой.

Однако у нашей гиперболы есть «выколотая» точка $A(-2,5; -0,4)$. Если прямая $y = kx$ проходит через эту точку, то одна из двух точек пересечения исчезает, и остается ровно одна общая точка.
Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой:
$-0,4 = k \cdot (-2,5)$
$k = \frac{-0,4}{-2,5} = \frac{4}{25} = 0,16$.

Также стоит проверить случай, когда дискриминант уравнения $kx^2 - 1 = 0$ равен нулю, но здесь это невозможно, так как при $k > 0$ всегда получается два различных значения $x$ (положительное и отрицательное), а при $k \le 0$ корней нет. Единственный способ получить одну точку — это «попасть» в выколотую точку.

Ответ: 0,16

Источник: ФИПИ