Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = |x^2 + x - 2|$. Построение будем проводить в несколько этапов.

1. Построение вспомогательного графика.
Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + x - 2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$).
Найдём координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0,5$.
$y_0 = f(-0,5) = (-0,5)^2 + (-0,5) - 2 = 0,25 - 0,5 - 2 = -2,25$.
Вершина находится в точке $(-0,5; -2,25)$.

2. Нахождение нулей функции.
Найдём точки пересечения параболы с осью $Ox$, решив уравнение $x^2 + x - 2 = 0$:
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-2; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Построение графика с модулем.
График функции $y = |x^2 + x - 2|$ получается из графика $y = x^2 + x - 2$ следующим образом: те части параболы, которые лежат выше оси $Ox$ или на ней, остаются без изменений. Часть параболы, лежащая ниже оси $Ox$ (от $x = -2$ до $x = 1$), симметрично отражается относительно этой оси вверх.
Таким образом, вершина параболы $(-0,5; -2,25)$ переходит в точку $(-0,5; 2,25)$. График представляет собой "W"-образную кривую с "изломами" в точках $(-2; 0)$ и $(1; 0)$.

4. Исследование количества общих точек.
Прямая, параллельная оси абсцисс, задаётся уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
Проанализируем количество точек пересечения графика с прямой $y = c$ при различных значениях $c$:
— При $c < 0$: общих точек нет (0 точек).
— При $c = 0$: прямая совпадает с осью $Ox$, имеем 2 общие точки (корни уравнения).
— При $0 < c < 2,25$: прямая пересекает график в 4 точках (две точки на внешних ветвях и две на отражённой части).
— При $c = 2,25$: прямая проходит через вершину отражённой части, имеем 3 общие точки.
— При $c > 2,25$: прямая пересекает только внешние ветви параболы, имеем 2 общие точки.

Следовательно, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ