Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для начала упростим выражение, задающее функцию. Заметим, что в формуле присутствует модуль. Вспомним определение модуля: $|a| = a$, если $a \geq 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля для выражения $\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x}$:

1) Пусть $\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \geq 0$.
Тогда $y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{x}{3,5} \right) = \frac{x}{3,5}$.
Выясним, при каких $x$ это условие выполняется. Решим неравенство $\frac{x^2 - 3,5^2}{3,5x} \geq 0$, что эквивалентно $\frac{(x - 3,5)(x + 3,5)}{x} \geq 0$.
Методом интервалов получаем: $x \in [-3,5; 0) \cup [3,5; +\infty)$.

2) Пусть $\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} < 0$.
Тогда $y = \frac{1}{2} \left( -\left( \frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x} \right) + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} + \frac{x}{3,5} + \frac{3,5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cdot \frac{3,5}{x} \right) = \frac{3,5}{x}$.
Это условие выполняется при $x \in (-\infty; -3,5) \cup (0; 3,5)$.

Таким образом, функция задается кусочно:
$y = \frac{3,5}{x}$, если $x < -3,5$;
$y = \frac{x}{3,5}$, если $-3,5 \leq x < 0$;
$y = \frac{3,5}{x}$, если $0 < x < 3,5$;
$y = \frac{x}{3,5}$, если $x \geq 3,5$.

Построим график. Он состоит из частей гипербол и прямых линий.
Заметим важные точки стыковки:
При $x = -3,5$: $y = \frac{-3,5}{3,5} = -1$.
При $x = 3,5$: $y = \frac{3,5}{3,5} = 1$.
При приближении $x$ к $0$ слева ($y = x/3,5$) значения $y$ стремятся к $0$.
При приближении $x$ к $0$ справа ($y = 3,5/x$) значения $y$ стремятся к $+\infty$.

Анализируя график:
- На промежутке $(-\infty; -3,5)$ функция возрастает от $0$ до $-1$ (ветвь гиперболы ниже оси $Ox$).
- На промежутке $[-3,5; 0)$ функция возрастает от $-1$ до $0$ (отрезок прямой).
- На промежутке $(0; 3,5)$ функция убывает от $+\infty$ до $1$ (ветвь гиперболы).
- На промежутке $[3,5; +\infty)$ функция возрастает от $1$ до $+\infty$ (луч прямой).

Теперь определим количество общих точек с горизонтальной прямой $y = m$:
- Если $m < -1$, точек нет.
- Если $m = -1$, одна точка (минимум в $x = -3,5$).
- Если $-1 < m < 0$, две точки.
- Если $m \geq 0$ и $m < 1$, точек нет (так как при $x < 0$ значения $y < 0$, а при $x > 0$ значения $y \geq 1$).
- Если $m = 1$, одна точка (минимум в $x = 3,5$).
- Если $m > 1$, две точки (одна на гиперболе, другая на луче).

Следовательно, ровно одна общая точка будет при $m = -1$ и $m = 1$.

Ответ: -1; 1

Источник: ФИПИ