Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала построим график функции $y = x^{2} - 9$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -9)$. Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) находятся из уравнения $x^{2} - 9 = 0$, откуда $x = 3$ и $x = -3$.

2. Чтобы построить график функции $y = |x^{2} - 9|$, нужно часть параболы, которая лежит ниже оси $Ox$ (где значения функции отрицательны), отобразить симметрично относительно этой оси вверх.
— Точки $(-3; 0)$ и $(3; 0)$ останутся на месте.
— Вершина параболы $(0; -9)$ перейдёт в точку $(0; 9)$.
— Части графика, где $x \le -3$ или $x \ge 3$, останутся без изменений.

3. Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), задаётся уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число. Нам нужно определить, при каком значении $c$ количество точек пересечения этой горизонтальной прямой с нашим графиком будет максимальным.

4. Проанализируем количество общих точек в зависимости от значения $c$:
— Если $c < 0$, прямая $y = c$ проходит ниже оси $Ox$ и не имеет общих точек с графиком.
— Если $c = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$ и имеет 2 общие точки: $(-3; 0)$ и $(3; 0)$.
— Если $0 < c < 9$, прямая проходит между осью $Ox$ и вершиной «отражённой» части параболы. В этом случае прямая пересекает график в 4 точках.
— Если $c = 9$, прямая проходит через точку $(0; 9)$ и имеет 3 общие точки.
— Если $c > 9$, прямая проходит выше вершины и имеет 2 общие точки.

5. Таким образом, наибольшее число общих точек равно 4. Это происходит, когда прямая $y = c$ пересекает обе внешние ветви параболы и обе ветви «петли», образовавшейся в результате отражения.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ