Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Проанализируем условие. Трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$ (а значит, и основанию $AD$, так как основания параллельны). Точка $E$ лежит на прямой $AB$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$.

2. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольники $PBC$ и $PAD$. Они подобны по двум углам (угол $P$ общий, $\angle PBC = \angle PAD = 90^\circ$).
Из подобия следует отношение сторон: $\frac{PB}{PA} = \frac{BC}{AD}$.
Подставим известные значения: $\frac{PB}{PA} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
Пусть $PB = 5x$, тогда $PA = 6x$. Следовательно, отрезок $AB = PA - PB = 6x - 5x = x$.

3. Воспользуемся свойством касательной и секущей, проведенных из одной точки $P$ к окружности. Отрезок $PE$ — касательная, а $PCD$ — секущая. По теореме о квадрате касательной:
$PE^2 = PC \cdot PD$.

4. Опустим перпендикуляр $EH$ из точки $E$ на прямую $CD$. Длина этого перпендикуляра $EH$ и есть искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник $PHE$. В нём $\sin(\angle P) = \frac{EH}{PE}$, откуда $EH = PE \cdot \sin(\angle P)$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $PBC$. В нём $\sin(\angle P) = \frac{BC}{PC}$.
Также из прямоугольного треугольника $PAD$ имеем $\sin(\angle P) = \frac{AD}{PD}$.
Перемножим эти равенства: $\sin^2(\angle P) = \frac{BC \cdot AD}{PC \cdot PD}$.

6. Заметим, что из шага 3 мы знаем: $PC \cdot PD = PE^2$. Подставим это в формулу синуса:
$\sin^2(\angle P) = \frac{BC \cdot AD}{PE^2}$.
Извлечем корень: $\sin(\angle P) = \frac{\sqrt{BC \cdot AD}}{PE}$.

7. Подставим полученное выражение для синуса в формулу для $EH$ из шага 4:
$EH = PE \cdot \frac{\sqrt{BC \cdot AD}}{PE} = \sqrt{BC \cdot AD}$.

8. Вычислим итоговое значение:
$EH = \sqrt{10 \cdot 12} = \sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30}$.

Ответ: $2\sqrt{30}$

Источник: ФИПИ